Calcule e interprete geometricamente o limite da sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular e interpretar o limite da sequência definida pela integral
. Isso envolve cálculos de integrais e o conceito de limite em análise matemática. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular integrais de funções racionais e entender o que significa o limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida
. A função
pode ser reescrita como
. A integral de
é
, desde que
.
Então, a integral de
é:
Passo 3
Agora, aplicamos os limites da integral de 1 até
:
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência
quando
tende ao infinito, calculamos:
Passo 5
Geometricamente, essa integral representa a área sob a curva da função
entre
e
. Conforme
aumenta, a área se aproxima de 1, indicando que o limite da sequência é 1.
Resposta
O limite da sequência
é 1.
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é decrescente e
para todo
, então
é convergente.
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
e
são ambas sequências divergentes, então
é divergente.