Calcule e interprete geometricamente o limite da sequência
an=integral1^n 1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular e interpretar o limite da sequência definida pela integral . Isso envolve cálculos de integrais e o conceito de limite em análise matemática. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular integrais de funções racionais e entender o que significa o limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida integral x^-2 , dx = x^-1-1 + C = -1x + C . A função pode ser reescrita como . A integral de é , desde que .
Então, a integral de é:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites da integral de 1 até an = [ -1x ]1^n = -1n - ( -11 ) = -1n + 1 = 1 - 1n :

Passo 4

Para encontrar o limite da sequência limn to infty (1 - 1n) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito, calculamos:

Passo 5

Geometricamente, essa integral representa a área sob a curva da função entre e . Conforme aumenta, a área se aproxima de 1, indicando que o limite da sequência é 1.

Resposta

O limite da sequência é 1.

Exercícios relacionados