Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada:
(e) A=x in Z mid x é ímpar ; multiplicação

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem o conjunto éí, ou seja, todos os números inteiros que são ímpares. A operação indicada é a multiplicação. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse conjunto, com essa operação, forma um grupo. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de grupo e verificar cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a multiplicação.

Passo 3

1. Fechamento: Isso significa que se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e multiplicar, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar:
  • Se e são ímpares, então e para alguns inteiros e .
  • Multiplicando: , que é ímpar.
  • Então, o fechamento está ok.

Passo 4

2. Elemento Identidade: Precisamos de um elemento no conjunto que, quando multiplicado por qualquer outro elemento do conjunto, retorna o próprio elemento. No caso da multiplicação, o elemento identidade é 1.
  • 1 é ímpar e está em , então temos o elemento identidade.

Passo 5

3. Inversos: Cada elemento no conjunto precisa ter um inverso dentro do conjunto tal que, quando multiplicados, resultem no elemento identidade (que é 1).
  • Vamos pegar um elemento ímpar qualquer, por exemplo, 3. O inverso multiplicativo de 3 seria .
  • Mas não é um número inteiro ímpar, então não está em .
  • Isso já mostra que nem todo elemento tem um inverso no conjunto.

Passo 6

4. Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa, ou seja, .
  • Então, essa propriedade está satisfeita.

Resposta

O conjunto éí com a operação de multiplicação não é um grupo, pois nem todos os elementos possuem inversos dentro do conjunto.

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