Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada:
(e) é ímpar multiplicação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem o conjunto , ou seja, todos os números inteiros que são ímpares. A operação indicada é a multiplicação. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse conjunto, com essa operação, forma um grupo. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de grupo e verificar cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a multiplicação.
Passo 3
1. Fechamento: Isso significa que se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e multiplicar, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar:
Se e são ímpares, então e para alguns inteiros e .
Multiplicando: , que é ímpar.
Então, o fechamento está ok.
Passo 4
2. Elemento Identidade: Precisamos de um elemento no conjunto que, quando multiplicado por qualquer outro elemento do conjunto, retorna o próprio elemento. No caso da multiplicação, o elemento identidade é 1.
1 é ímpar e está em , então temos o elemento identidade.
Passo 5
3. Inversos: Cada elemento no conjunto precisa ter um inverso dentro do conjunto tal que, quando multiplicados, resultem no elemento identidade (que é 1).
Vamos pegar um elemento ímpar qualquer, por exemplo, 3. O inverso multiplicativo de 3 seria .
Mas não é um número inteiro ímpar, então não está em .
Isso já mostra que nem todo elemento tem um inverso no conjunto.
Passo 6
4. Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa, ou seja, .
Então, essa propriedade está satisfeita.
Resposta
O conjunto com a operação de multiplicação não é um grupo, pois nem todos os elementos possuem inversos dentro do conjunto.