Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de uma curva definida por no intervalo . Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar e na nossa função:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Então temos e .

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo é .

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen .
Calcule os seguintes limites.
;
Sejam dois intervalos, uma função contínua em . Seja uma função vetorial contínua em . Mostre que a função vetorial é contínua em .
Note que .