Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
mu(t)=(t, e^t+e^-t2), t in[-1,, 1].
Sugestão para o item (d): use a identidade cos ^2 x2=12(1+cos x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de uma curva definida por no intervalo . Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt no intervalo :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar x(t) = t e y(t) = e^t + e^-t2 e na nossa função:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t) = 1
dydt = ddt(e^t + e^-t2) = e^t - e^-t2
Então temos e .

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral-1^1 raiz(1)^2 + (e^t - e^-t2)^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
(e^t - e^-t2)^2 = (e^t - e^-t)^24 = e^2t - 2 + e^-2t4
Então:
raiz1 + e^2t - 2 + e^-2t4 = raiz4 + e^2t - 2 + e^-2t4 = raize^2t + e^-2t + 24 = raiz(e^t + e^-t)^24 = e^t + e^-t2

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
L = integral-1^1 e^t + e^-t2 , dt = 12 integral-1^1 (e^t + e^-t) , dt
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Calculando a integral:
12 [ integral-1^1 e^t , dt + integral-1^1 e^-t , dt ] = 12 [ e^t |-1^1 + -e^-t |-1^1 ]
= 12 [ (e^1 - e^-1) + (-e^-1 + e^1) ] = 12 [ 2(e^1 - e^-1) ] = e^1 - e^-1

Resposta

O comprimento da curva no intervalo é .

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