Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos. .
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de uma curva definida por no intervalo . Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar e na nossa função:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Então temos e .
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco: