Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos onde a curva é tangente à reta
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar as tangentes das curvas. Precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e descobrir onde elas têm a mesma direção, ou seja, onde suas derivadas são proporcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
. Essa é uma forma paramétrica da reta, onde
é o parâmetro. Podemos reescrever isso como:
Isso nos mostra que a reta tem direção no vetor
, já que
aumenta de 1 em ambas as coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a curva . Essa é a parametrização de um círculo unitário, já que . A derivada dessa curva nos dará o vetor tangente em cada ponto.
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Para que a curva seja tangente à reta, os vetores dire��ão da reta e da curva devem ser paralelos. Ou seja,
deve ser proporcional a
:
Onde
é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá duas equações:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos reescrever a equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Podemos dividir ambos os lados por
, desde que
:
Então,
Isso acontece quando:
Logo,
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os pontos na curva
correspondentes a esses valores de
. Vamos considerar
para encontrar o primeiro ponto:
Substituindo na equação de
:
Passo 7
Vamos verificar se esse ponto está na reta
. A reta é dada por
. Precisamos encontrar um
tal que:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso não é possível, logo, o ponto encontrado não está na reta. Portanto, não há pontos onde a curva
é tangente à reta
.
Resposta
Não existem pontos onde a curva
é tangente à reta
.
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;
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;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
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.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
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