Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos onde a curva é tangente à reta . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar as tangentes das curvas. Precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e descobrir onde elas têm a mesma direção, ou seja, onde suas derivadas são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Essa é uma forma paramétrica da reta, onde é o parâmetro. Podemos reescrever isso como:
Isso nos mostra que a reta tem direção no vetor , já que aumenta de 1 em ambas as coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a curva . Essa é a parametrização de um círculo unitário, já que . A derivada dessa curva nos dará o vetor tangente em cada ponto.
Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Para que a curva seja tangente à reta, os vetores dire��ão da reta e da curva devem ser paralelos. Ou seja, deve ser proporcional a :
Onde é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá duas equações:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Vamos reescrever a equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Podemos dividir ambos os lados por , desde que :
Então,
Isso acontece quando:
Logo,

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os pontos na curva correspondentes a esses valores de . Vamos considerar para encontrar o primeiro ponto:
Substituindo na equação de :

Passo 7

Vamos verificar se esse ponto está na reta . A reta é dada por . Precisamos encontrar um tal que:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso não é possível, logo, o ponto encontrado não está na reta. Portanto, não há pontos onde a curva é tangente à reta .

Resposta

Não existem pontos onde a curva é tangente à reta .

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Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .