Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
beta(t)=(cos pi t, sen pi t), r(t)=(2+t, t-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos onde a curva é tangente à reta . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar as tangentes das curvas. Precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e descobrir onde elas têm a mesma direção, ou seja, onde suas derivadas são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta x = 2 + t . Essa é uma forma paramétrica da reta, onde y = t - 1 é o parâmetro. Podemos reescrever isso como:
Isso nos mostra que a reta tem direção no vetor , já que aumenta de 1 em ambas as coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a curva . Essa é a parametrização de um círculo unitário, já que . A derivada dessa curva nos dará o vetor tangente em cada ponto.
Vamos derivar beta'(t) = ( -pi sen pi t, pi cos pi t ) em relação a :

Passo 4

Para que a curva seja tangente à reta, os vetores dire��ão da reta e da curva devem ser paralelos. Ou seja, ( -pi sen pi t, pi cos pi t ) = lambda (1, 1) deve ser proporcional a -pi sen pi t = lambda :
Onde pi cos pi t = lambda é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá duas equações:
-pi sen pi t = pi cos pi t
Igualando as duas expressões para -sen pi t = cos pi t :
Simplificando dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Vamos reescrever a equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Podemos dividir ambos os lados por -sen pi t = cos pi t , desde que sen pi t + cos pi t = 0 :
tan pi t + 1 = 0
Então,
tan pi t = -1
Isso acontece quando:
pi t = 3pi4 + kpi, k in Z
Logo,
t = 34 + k, k in Z

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os pontos na curva t = 34 correspondentes a esses valores de beta(34) = ( cos ( pi cdot 34 ), sen ( pi cdot 34 ) ) . Vamos considerar = ( cos 3pi4, sen 3pi4 ) para encontrar o primeiro ponto:
= ( -raiz22, raiz22 )
Substituindo na equação de :

Passo 7

Vamos verificar se esse ponto está na reta 2 + tr = -raiz22 . A reta é dada por tr - 1 = raiz22 . Precisamos encontrar um tr = -raiz22 - 2 tal que:
-raiz22 - 2 - 1 = raiz22
-raiz22 - 3 = raiz22
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso não é possível, logo, o ponto encontrado não está na reta. Portanto, não há pontos onde a curva é tangente à reta .

Resposta

Não existem pontos onde a curva é tangente à reta .

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