Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida parametricamente por , onde
varia de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas no cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica
no intervalo
:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de cada componente da nossa curva em relação a
, elevar cada uma ao quadrado, somar tudo e depois integrar isso de
a
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas das componentes de
:
- A derivada de em relação a
é:
- A derivada de
em relação a é:
- A derivada de
em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos elevar cada derivada ao quadrado:
Passo 5
Vamos somar essas expressões dentro da raiz na fórmula do comprimento:
Perceba que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica :
Então, nossa soma fica:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Esse é o integral que precisamos calcular para encontrar o comprimento da curva.
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral de uma forma que facilita a resolução. Então, vamos optar por resolver a integral numericamente ou reconhecer que ela pode não ter uma antiderivada expressa em funções elementares.
Passo 8
Utilizando métodos numéricos ou uma calculadora, podemos aproximar o valor dessa integral:
Resposta
O comprimento da curva no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen
.
Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Sugestão para o item (d): use a identidade
Calcule os seguintes limites.
;