Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida parametricamente por , onde varia de a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas no cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de cada componente da nossa curva em relação a , elevar cada uma ao quadrado, somar tudo e depois integrar isso de a .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas das componentes de :
  1. A derivada de em relação a é:
  1. A derivada de em relação a é:
  1. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos elevar cada derivada ao quadrado:

Passo 5

Vamos somar essas expressões dentro da raiz na fórmula do comprimento:
Perceba que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica :
Então, nossa soma fica:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Esse é o integral que precisamos calcular para encontrar o comprimento da curva.

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que:
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral de uma forma que facilita a resolução. Então, vamos optar por resolver a integral numericamente ou reconhecer que ela pode não ter uma antiderivada expressa em funções elementares.

Passo 8

Utilizando métodos numéricos ou uma calculadora, podemos aproximar o valor dessa integral:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é aproximadamente unidades.

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Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen .
Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Calcule os seguintes limites.
;