Sejam I, J subset R dois intervalos, f: I longrightarrow J uma função contínua em a in I, com f(a)=b in J. Seja alpha: J longrightarrow R^3 uma função vetorial contínua em b in J. Mostre que a função vetorial alpha circ f: I longrightarrow R^3 é contínua em a in I.
Note que alpha circ f(t)=(alpha1 circ f(t), alpha2 circ f(t), alpha3 circ f(t)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos duas funções contínuas:
  • , que é contínua no ponto e satisfaz .
  • , que é uma função vetorial contínua no ponto .
Precisamos mostrar que a composição dessas funções, , também é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções compostas e entender como a continuidade se aplica em funções vetoriais.

Passo 2

Lembre-se que uma função é contínua em um ponto se, para qualquer sequência que se aproxima desse ponto, a imagem dessa sequência pela função também se aproxima da imagem do ponto. Em termos matemáticos, para mostrar que Se tn to a então (alpha circ f)(tn) to (alpha circ f)(a) é contínua em , precisamos provar que:
ã

Passo 3

Como limn to infty f(tn) = f(a) = b é contínua em , sabemos que:
Isso significa que, quando se aproxima de , se aproxima de .

Passo 4

Sabendo que limn to infty alpha(f(tn)) = alpha( limn to infty f(tn) ) = alpha(b) = (alpha circ f)(a) é contínua em limn to infty (alpha circ f)(tn) = (alpha circ f)(a) , podemos aplicar a função na sequência . Portanto:
Isso mostra que:

Passo 5

Concluímos que, para qualquer sequência que se aproxima de , a sequência se aproxima de . Portanto, a função vetorial é contínua em .

Resposta

A função vetorial é contínua em .

Exercícios relacionados