Sejam
dois intervalos,
uma função contínua em
. Seja
uma função vetorial contínua em
. Mostre que a função vetorial
é contínua em
.
Note que
.
Note que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos duas funções contínuas:
-
, que é contínua no ponto e satisfaz . -
, que é uma função vetorial contínua no ponto .
Precisamos mostrar que a composição dessas funções,
, também é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções compostas e entender como a continuidade se aplica em funções vetoriais.
Passo 2
Lembre-se que uma função é contínua em um ponto se, para qualquer sequência que se aproxima desse ponto, a imagem dessa sequência pela função também se aproxima da imagem do ponto. Em termos matemáticos, para mostrar que
é contínua em
, precisamos provar que:
Passo 3
Como
é contínua em
, sabemos que:
Isso significa que, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 4
Sabendo que
é contínua em
, podemos aplicar a função
na sequência
. Portanto:
Isso mostra que:
Passo 5
Concluímos que, para qualquer sequência
que se aproxima de
, a sequência
se aproxima de
. Portanto, a função vetorial
é contínua em
.
Resposta
A função vetorial
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Sugestão para o item (d): use a identidade
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.