Sejam dois intervalos, uma função contínua em . Seja uma função vetorial contínua em . Mostre que a função vetorial é contínua em .
Note que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos duas funções contínuas:
  • , que é contínua no ponto e satisfaz .
  • , que é uma função vetorial contínua no ponto .
Precisamos mostrar que a composição dessas funções, , também é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções compostas e entender como a continuidade se aplica em funções vetoriais.

Passo 2

Lembre-se que uma função é contínua em um ponto se, para qualquer sequência que se aproxima desse ponto, a imagem dessa sequência pela função também se aproxima da imagem do ponto. Em termos matemáticos, para mostrar que é contínua em , precisamos provar que:
ã

Passo 3

Como é contínua em , sabemos que:
Isso significa que, quando se aproxima de , se aproxima de .

Passo 4

Sabendo que é contínua em , podemos aplicar a função na sequência . Portanto:
Isso mostra que:

Passo 5

Concluímos que, para qualquer sequência que se aproxima de , a sequência se aproxima de . Portanto, a função vetorial é contínua em .

Resposta

A função vetorial é contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.