Calcule os seguintes limites.
lim t raiz2(t^2-2t-raiz2, e^raiz2-e^tt^3-2 raiz2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular dois limites quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas como fatoração e a Regra de L’Hospital para resolver esses limites. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite:
limt raiz2 t^2 - 2t - raiz2
Perceba que o numerador t^2 - 2 = t^2 - (raiz2)^2 = (t - raiz2)(t + raiz2) pode ser reescrito como:
(t - raiz2)(t + raiz2)t - raiz2 = t + raiz2
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
t + raiz2 = raiz2 + raiz2 = 2raiz2
Agora, podemos simplesmente substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
limt raiz2 e^raiz2 - e^tt^3 - 2raiz2
Primeiro, observamos que quando ddt (e^raiz2 - e^t) = -e^t se aproxima de ddt (t^3 - 2raiz2) = 3t^2 , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero, formando uma indeterminação do tipo limt raiz2 -e^t3t^2 = -e^raiz23(raiz2)^2 = -e^raiz23 times 2 = -e^raiz26 . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador em relação a :
Derivando o denominador em relação a :
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite se torna:

Resposta

O limite solicitado é:
( 2raiz2, ; -e^raiz26 )

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