Calcule os seguintes limites.
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular dois limites quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas como fatoração e a Regra de L’Hospital para resolver esses limites. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite:
Perceba que o numerador pode ser reescrito como:
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
Agora, podemos simplesmente substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
Primeiro, observamos que quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero, formando uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador em relação a :
Derivando o denominador em relação a :
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite se torna:

Resposta

O limite solicitado é:

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Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Sejam dois intervalos, uma função contínua em . Seja uma função vetorial contínua em . Mostre que a função vetorial é contínua em .
Note que .
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.