Calcule os seguintes limites.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular dois limites quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas como fatoração e a Regra de L’Hospital para resolver esses limites. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite:
Perceba que o numerador
pode ser reescrito como:
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
Agora, podemos simplesmente substituir
por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite:
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero, formando uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador em relação a
:
Derivando o denominador em relação a
:
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite se torna:
Resposta
O limite solicitado é:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
.
Sugestão para o item (d): use a identidade .
Sugestão para o item (d): use a identidade
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Sejam
dois intervalos,
uma função contínua em
. Seja
uma função vetorial contínua em
. Mostre que a função vetorial
é contínua em
.
Note que .
Note que
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.