Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por , onde varia de a . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo do comprimento de curvas na matemática, que usa um pouco de cálculo integral para encontrar a distância total percorrida ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos uma curva definida por , o comprimento dessa curva entre e é dado pela fórmula:
Aqui, e são as derivadas das componentes da curva em relação a . Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva . Primeiro, identificamos as funções e :
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Calculando os quadrados:

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.