Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
alpha(t)=(4 t, 3 t), t in[a, b]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por alpha(t) = (4t, 3t), onde t varia de a a b. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo do comprimento de curvas na matemática, que usa um pouco de cálculo integral para encontrar a distância total percorrida ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos uma curva definida por alpha(t) = (x(t), y(t)), o comprimento L dessa curva entre t = a e t = b é dado pela fórmula:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Aqui, dxdt e dydt são as derivadas das componentes da curva em relação a t. Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva alpha(t) = (4t, 3t). Primeiro, identificamos as funções x(t) e y(t):
x(t) = 4t y(t) = 3t
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t:
dxdt = ddt(4t) = 4 dydt = ddt(3t) = 3

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
L = integrala^b raiz(4)^2 + (3)^2 , dt
Calculando os quadrados:
L = integrala^b raiz16 + 9 , dt L = integrala^b raiz25 , dt L = integrala^b 5 , dt

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
L = 5 integrala^b , dt L = 5 [t]a^b L = 5 (b - a)

Resposta

O comprimento da curva alpha(t) = (4t, 3t) no intervalo de t in [a, b] é:
L = 5 (b - a)

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