Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por
, onde
varia de
a
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo do comprimento de curvas na matemática, que usa um pouco de cálculo integral para encontrar a distância total percorrida ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos uma curva definida por
, o comprimento
dessa curva entre
e
é dado pela fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas das componentes da curva em relação a
. Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva
. Primeiro, identificamos as funções
e
:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Calculando os quadrados:
Passo 5
Agora, a integral fica mais simples:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
é:
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Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.