Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
gamma(t)=(cos 2 pi t, sen 2 pi t, t), t in[0,1 / 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função vetorial no intervalo de gamma(t) = (cos 2 pi t, sen 2 pi t, t) de t até 0. Basicamente, isso significa que vamos integrar cada componente da função separadamente nesse intervalo usando cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira componente: cos 2 pi t. A integral de cos é , então temos:
Como estamos avaliando no intervalo de sen a integral cos 2 pi t , dt = sen 2 pi t2 pi + C , ignoramos a constante 0:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A integral de é sen 2 pi t, então:
Avaliando de sen a -cos:
integral sen 2 pi t , dt = -cos 2 pi t2 pi + C

Passo 4

Por fim, vamos integrar a terceira componente: t. A integral de t é t^22, então:
integral t , dt = t^22 + C
Avaliando de 0 a 1/2:
t^22 |0^1/2 = (1/2)^22 - 0^22 = 1/42 = 18

Resposta

A integral da função vetorial gamma(t) no intervalo de 0 a 1/2 é:
(0, 1pi, 18)

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