Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Passo 1
Vamos calcular as funções derivadas da função vetorial
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função vetorial como
tem sua derivada calculada derivando cada uma das componentes individualmente. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar a primeira componente,
. A derivada de
em relação a
é
, porque
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente,
. A derivada de
em relação a
é
, já que
.
Passo 5
Por fim, derivamos a terceira componente,
. A derivada de
em relação a
é
, conforme a regra básica de derivação de potências:
.
Resposta
A função derivada é
.
Exercícios relacionados
Sejam
dois intervalos,
uma função contínua em
. Seja
uma função vetorial contínua em
. Mostre que a função vetorial
é contínua em
.
Note que .
Note que
Calcule os seguintes limites.
;
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.