Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
gamma(t)=(sinh t, cosh t, t^2).

Passo 1

Vamos calcular as funções derivadas da função vetorial gamma(t)=(sinh t, cosh t, t^2). Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função vetorial como gamma(t) = (f(t), g(t), h(t)) tem sua derivada calculada derivando cada uma das componentes individualmente. Ou seja, gamma'(t) = (f'(t), g'(t), h'(t)).

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente, sinh t. A derivada de sinh t em relação a t é cosh t, porque ddt sinh t = cosh t.

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente, cosh t. A derivada de cosh t em relação a t é sinh t, já que ddt cosh t = sinh t.

Passo 5

Por fim, derivamos a terceira componente, t^2. A derivada de t^2 em relação a t é 2t, conforme a regra básica de derivação de potências: ddt t^n = n t^n-1.

Resposta

A função derivada é gamma'(t) = (cosh t, sinh t, 2t).

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