Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região no plano cartesiano que é definida pela inequação em coordenadas polares . Para isso, vamos precisar saber como desenhar essas curvas no sistema polar e calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Isso significa que o raio está entre 1 e para cada ângulo .

Passo 3

Vamos entender o que representa no sistema polar. Essa equação é a de um círculo com raio 1 e centrado no ponto no plano cartesiano. Isso acontece porque a forma geral descreve um círculo de raio .

Passo 4

Agora, a inequação descreve todos os pontos dentro desse círculo. Já representa uma circunferência de raio 1 ao redor da origem. Então, a região que a gente quer é onde essas duas áreas se sobrepõem.

Passo 5

Para encontrar a área dessa região, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares:
Aqui, é e é 1. Precisamos determinar os limites de integração e , que são os ângulos onde as duas curvas se interceptam.

Passo 6

Vamos igualar para encontrar os pontos de interseção:
Então, os limites de integração são de a .

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula da área:

Passo 8

Para resolver a integral, vamos usar a identidade trigonométrica :
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Sabemos que e , então:

Passo 10

Simplificando:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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