Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
1 <= r <= 2 cos theta
Calcule a sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região no plano cartesiano que é definida pela inequação em coordenadas polares . Para isso, vamos precisar saber como desenhar essas curvas no sistema polar e calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Isso significa que o raio está entre 1 e para cada ângulo .

Passo 3

Vamos entender o que representa no sistema polar. Essa equação é a de um círculo com raio 1 e centrado no ponto no plano cartesiano. Isso acontece porque a forma geral descreve um círculo de raio .

Passo 4

Agora, a inequação descreve todos os pontos dentro desse círculo. Já representa uma circunferência de raio 1 ao redor da origem. Então, a região que a gente quer é onde essas duas áreas se sobrepõem.

Passo 5

Para encontrar a área dessa região, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta (rexterna^2 - rinterna^2) , dtheta
Aqui, é e é 1. Precisamos determinar os limites de integração e , que são os ângulos onde as duas curvas se interceptam.

Passo 6

Vamos igualar 2 cos theta = 1 implies cos theta = 12 implies theta = pi3 e theta = -pi3 para encontrar os pontos de interseção:
Então, os limites de integração são de a .

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula da área:
A = 12 integral-pi3^pi3 ((2 cos theta)^2 - 1^2) dtheta = 12 integral-pi3^pi3 (4 cos^2 theta - 1) dtheta

Passo 8

Para resolver a integral, vamos usar a identidade trigonométrica 4 cos^2 theta - 1 = 4 (1 + cos 2theta2) - 1 = 2(1 + cos 2theta) - 1 = 1 + 2 cos 2theta :
A = 12 integral-pi3^pi3 (1 + 2 cos 2theta) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral (1 + 2 cos 2theta) dtheta = theta + sin 2theta
Aplicando os limites:
A = 12 [ (pi3 + sin (2pi3)) - (-pi3 + sin (-2pi3)) ]
Sabemos que A = 12 ( pi3 + raiz32 + pi3 - (-raiz32) ) = 12 ( 2pi3 + raiz3 ) e , então:

Passo 10

Simplificando:
A = pi3 + raiz32

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados