Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região no plano cartesiano que é definida pela inequação em coordenadas polares
. Para isso, vamos precisar saber como desenhar essas curvas no sistema polar e calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação
. Isso significa que o raio
está entre 1 e
para cada ângulo
.
Passo 3
Vamos entender o que representa
no sistema polar. Essa equação é a de um círculo com raio 1 e centrado no ponto
no plano cartesiano. Isso acontece porque a forma geral
descreve um círculo de raio
.
Passo 4
Agora, a inequação
descreve todos os pontos dentro desse círculo. Já
representa uma circunferência de raio 1 ao redor da origem. Então, a região que a gente quer é onde essas duas áreas se sobrepõem.
Passo 5
Para encontrar a área dessa região, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares:
Aqui,
é
e
é 1. Precisamos determinar os limites de integração
e
, que são os ângulos onde as duas curvas se interceptam.
Passo 6
Vamos igualar
para encontrar os pontos de interseção:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 7
Agora, substituindo na fórmula da área:
Passo 8
Para resolver a integral, vamos usar a identidade trigonométrica
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
Simplificando:
Resposta
A área da região é
unidades de área.
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