Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
alpha(t)=(t raiz1+t, raiz1+t), t in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial alpha(t) = (t raiz1+t, raiz1+t) no intervalo t in [0,1]. Vamos usar as técnicas de integração de funções de uma variável para resolver cada componente da função vetorial.

Passo 2

Como estamos lidando com uma função vetorial, a integral será calculada componente a componente. Isso significa que iremos integrar cada uma das coordenadas da função separadamente no intervalo dado.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro componente: t raiz1+t.
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 1 + t, então du = dt. Substituindo na integral:
integral t raiz1+t , dt = integral (u - 1) raizu , du = integral u^3/2 - u^1/2 , du
Agora, integramos termo a termo:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C e integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Então, a integral fica:
25 u^5/2 - 23 u^3/2 + C
Voltando para a variável original t:
25 (1 + t)^5/2 - 23 (1 + t)^3/2
Agora, avaliamos de t=0 a t=1:
Para t = 1:
25 (2)^5/2 - 23 (2)^3/2 = 25 cdot 5.6568 - 23 cdot 2.8284 approx 2.2627 - 1.8856 = 0.3771
Para t = 0:
25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 = 25 - 23 = 0.4 - 0.6667 = -0.2667
Diferença:
0.3771 - (-0.2667) = 0.6438

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo componente: raiz1+t.
Fazemos novamente a substituição u = 1 + t, então du = dt. A integral fica:
integral raiz1+t , dt = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C = 23 (1 + t)^3/2 + C
Avaliando de t=0 a t=1:
Para t = 1:
23 (2)^3/2 = 23 cdot 2.8284 approx 1.8856
Para t = 0:
23 (1)^3/2 = 23 approx 0.6667
Diferença:
1.8856 - 0.6667 = 1.2189

Passo 5

Juntando os resultados das integrais dos dois componentes, temos a integral da função vetorial:
integral0^1 alpha(t) , dt = (0.6438, 1.2189)

Resposta

A integral da função vetorial alpha(t) no intervalo [0,1] é (0.6438, 1.2189).

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