Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial
no intervalo
. Vamos usar as técnicas de integração de funções de uma variável para resolver cada componente da função vetorial.
Passo 2
Como estamos lidando com uma função vetorial, a integral será calculada componente a componente. Isso significa que iremos integrar cada uma das coordenadas da função separadamente no intervalo dado.
Passo 3
Vamos começar integrando o primeiro componente:
.
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:
Voltando para a variável original
:
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
Diferença:
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo componente:
.
Fazemos novamente a substituição
, então
. A integral fica:
Avaliando de
a
:
Para
:
Para
:
Diferença:
Passo 5
Juntando os resultados das integrais dos dois componentes, temos a integral da função vetorial:
Resposta
A integral da função vetorial
no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Sejam
dois intervalos,
uma função contínua em
. Seja
uma função vetorial contínua em
. Mostre que a função vetorial
é contínua em
.
Note que .
Note que
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.