Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial no intervalo . Vamos usar as técnicas de integração de funções de uma variável para resolver cada componente da função vetorial.

Passo 2

Como estamos lidando com uma função vetorial, a integral será calculada componente a componente. Isso significa que iremos integrar cada uma das coordenadas da função separadamente no intervalo dado.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro componente: .
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Substituindo na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:
Voltando para a variável original :
Agora, avaliamos de a :
Para :
Para :
Diferença:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo componente: .
Fazemos novamente a substituição , então . A integral fica:
Avaliando de a :
Para :
Para :
Diferença:

Passo 5

Juntando os resultados das integrais dos dois componentes, temos a integral da função vetorial:

Resposta

A integral da função vetorial no intervalo é .

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Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
.
Sejam dois intervalos, uma função contínua em . Seja uma função vetorial contínua em . Mostre que a função vetorial é contínua em .
Note que .
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Esboce a região definida em coordenadas polares pela inequação
Calcule a sua área.