Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo. Isso significa que queremos achar os valores de
onde a velocidade da curva é zero. A curva está definida por:
Vamos precisar calcular a derivada dessa curva em relação a
e depois encontrar onde ambas as componentes dessa derivada são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da curva
. A derivada de uma função vetorial
é:
Então, vamos derivar cada componente:
Para
:
Para :
Então, a derivada da curva é:
Passo 3
Agora, queremos que a derivada seja o vetor nulo, ou seja:
Isso nos dá duas equações para resolver:
Vamos simplificar essas equações dividindo por 3:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando com
e
:
Então, a equação fica:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Primeiro, resolvendo :
Segundo, resolvendo
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Usando a identidade
, temos:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora, vamos reunir as soluções das duas equações:
- Da primeira equação:
ou - Da segunda equação:
ou
As soluções comuns são
, onde
é inteiro.
Resposta
Os pontos onde a derivada da curva é igual ao vetor nulo correspondem a
, com
inteiro. Portanto, os pontos são dados por:
Então, os pontos são
para todo
.
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Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
;
Calcule os valores de
e
tais que a função
seja contínua.
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen
.
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.