Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
beta(t)=(3 cos t+cos 3 t, 3 sen 3 t-sen 3 t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo. Isso significa que queremos achar os valores de beta(t) = (3 cos t + cos 3 t, 3 sen t - sen 3 t) onde a velocidade da curva é zero. A curva está definida por:
Vamos precisar calcular a derivada dessa curva em relação a e depois encontrar onde ambas as componentes dessa derivada são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva beta'(t) = (dxdt, dydt) . A derivada de uma função vetorial dxdt = -3 sen t - 3 sen 3 t é:
dydt = 3 cos t - 3 cos 3 t
Então, vamos derivar cada componente:
Para beta'(t) = (-3 sen t - 3 sen 3 t, 3 cos t - 3 cos 3 t) :
Para :
Então, a derivada da curva é:

Passo 3

Agora, queremos que a derivada seja o vetor nulo, ou seja:
beta'(t) = (0, 0)
Isso nos dá duas equações para resolver:
Vamos simplificar essas equações dividindo por 3:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando com -sen t - sen 3 t = 0 implies sen t + sen 3 t = 0 e sen A + sen B = 2 sen ( A+B2 ) cos ( A-B2 ) :
Então, a equação fica:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. sen t + sen 3t = 2 sen ( t + 3t2 ) cos ( t - 3t2 ) = 2 sen 2t cos (-t) = 2 sen 2t cos t

Passo 5

Primeiro, resolvendo :
Segundo, resolvendo sen 2t = 0 implies 2t = npi implies t = npi2, n in Z :
cos t = 0 implies t = pi2 + npi, n in Z

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
cos t - cos 3t = 0 implies cos t = cos 3t
Usando a identidade cos t - cos 3t = -2 sen 2t sen (-t) = 2 sen 2t sen t = 0 , temos:
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, vamos reunir as soluções das duas equações:
  • Da primeira equação: ou
  • Da segunda equação: ou
As soluções comuns são , onde é inteiro.

Resposta

Os pontos onde a derivada da curva é igual ao vetor nulo correspondem a beta(npi) = (3 cos (npi) + cos 3npi, 3 sen (npi) - sen 3npi) = (3 (-1)^n + (-1)^3n, 0 - 0) = (4 (-1)^n, 0) , com inteiro. Portanto, os pontos são dados por:
Então, os pontos são para todo .

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