Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo. Isso significa que queremos achar os valores de onde a velocidade da curva é zero. A curva está definida por:
Vamos precisar calcular a derivada dessa curva em relação a e depois encontrar onde ambas as componentes dessa derivada são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva . A derivada de uma função vetorial é:
Então, vamos derivar cada componente:
Para :
Para :
Então, a derivada da curva é:

Passo 3

Agora, queremos que a derivada seja o vetor nulo, ou seja:
Isso nos dá duas equações para resolver:
Vamos simplificar essas equações dividindo por 3:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando com e :
Então, a equação fica:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Primeiro, resolvendo :
Segundo, resolvendo :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Usando a identidade , temos:
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, vamos reunir as soluções das duas equações:
  • Da primeira equação: ou
  • Da segunda equação: ou
As soluções comuns são , onde é inteiro.

Resposta

Os pontos onde a derivada da curva é igual ao vetor nulo correspondem a , com inteiro. Portanto, os pontos são dados por:
Então, os pontos são para todo .

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Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
;
Calcule os valores de e tais que a função
seja contínua.
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen .
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.