Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
gamma(t)=(1, t, ln t), t in[1, e]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por gamma(t) = (1, t, ln t) no intervalo t in [1, e]. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) no intervalo a <= t <= b. A fórmula é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Essa integral basicamente soma todos os pequenos pedaços do comprimento da curva, considerando as mudanças em cada componente da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da nossa curva gamma(t) = (1, t, ln t):
  • x(t) = 1
  • y(t) = t
  • z(t) = ln t
Vamos derivar cada uma dessas funções em relação a t:
  • dxdt = 0 (já que x(t) é constante)
  • dydt = 1
  • dzdt = 1t

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
L = integral1^e raiz0^2 + 1^2 + (1t)^2 , dt = integral1^e raiz1 + 1t^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
1 + 1t^2 = t^2 + 1t^2
Então:
raiz1 + 1t^2 = raizt^2 + 1t^2 = raizt^2 + 1t
Portanto, a integral fica:
L = integral1^e raizt^2 + 1t , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar u = t^2 + 1, então:
dudt = 2t Rightarrow dt = du2t
Substituindo na integral:
L = integral raizut cdot du2t = 12 integral raizut^2 , du
Mas como u = t^2 + 1, então t^2 = u - 1, então:
L = 12 integral raizuu - 1 , du
Essa integral pode ser resolvida por métodos mais avançados, mas para simplificar, podemos usar uma tabela de integrais ou uma ferramenta de cálculo.

Passo 6

Após resolver a integral (passo intermediário simplificado), obtemos:
L = 12 [ raizt^2 + 1 cdot t - ln(t + raizt^2 + 1) ] g|1^e
Agora, vamos calcular esse valor no intervalo de t = 1 até t = e.

Resposta

Substituindo os limites na expressão, o comprimento da curva é:
L = 12 ( e cdot raize^2 + 1 - ln(e + raize^2 + 1) ) - 12 ( 1 cdot raiz1 + 1 - ln(1 + raiz1 + 1) )
Simplificando os valores numéricos:
L approx 12 ( e cdot raize^2 + 1 - ln(e + raize^2 + 1) - raiz2 + ln(1 + raiz2) )
Esse é o comprimento da curva gamma(t) = (1, t, ln t) no intervalo t in [1, e].

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