Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo . A fórmula é:
Essa integral basicamente soma todos os pequenos pedaços do comprimento da curva, considerando as mudanças em cada componente da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes da nossa curva :
Vamos derivar cada uma dessas funções em relação a :
(já que é constante)
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:
Mas como , então , então:
Essa integral pode ser resolvida por métodos mais avançados, mas para simplificar, podemos usar uma tabela de integrais ou uma ferramenta de cálculo.
Passo 6
Após resolver a integral (passo intermediário simplificado), obtemos:
Agora, vamos calcular esse valor no intervalo de t = 1 até t = e.
Resposta
Substituindo os limites na expressão, o comprimento da curva é: