Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
beta(t)=(t cos 2 t, 6 sen 3 t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as funções derivadas da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar diferenciar cada componente da função beta(t) = (t cos 2t, 6 sen 3t) em relação a beta(t) usando as regras de derivação básicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira componente da função beta(t), que é t cos 2t. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. A regra do produto diz que:
ddt [u(t) cdot v(t)] = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t)
Aqui, podemos considerar u(t) = t e v(t) = cos 2t. Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de u(t) = t:
u'(t) = 1
  1. Derivada de v(t) = cos 2t:
    Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de cos(g(t)) é . Então:
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente da função beta(t), que é . Aqui, temos uma constante multiplicando uma função trigonométrica. Para derivar isso, usamos a regra de constante multiplicada, que nos diz que a derivada de 6 sen 3t é k cdot f(t), onde k cdot f'(t) é uma constante.
  1. Derivada de :
    Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de é k. Então:
Agora, aplicando a regra de constante multiplicada:

Resposta

A função derivada de beta(t) é:

Exercícios relacionados