Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as funções derivadas da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar diferenciar cada componente da função
em relação a
usando as regras de derivação básicas e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira componente da função
, que é
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. A regra do produto diz que:
Aqui, podemos considerar
e
. Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada deé . Então:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente da função
, que é . Aqui, temos uma constante multiplicando uma função trigonométrica. Para derivar isso, usamos a regra de constante multiplicada, que nos diz que a derivada de
é
, onde
é uma constante.
- Derivada de :
Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de é. Então:
Agora, aplicando a regra de constante multiplicada:
Resposta
A função derivada de
é: