Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as funções derivadas da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar diferenciar cada componente da função em relação a usando as regras de derivação básicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira componente da função , que é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. A regra do produto diz que:
Aqui, podemos considerar e . Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é . Então:
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente da função , que é . Aqui, temos uma constante multiplicando uma função trigonométrica. Para derivar isso, usamos a regra de constante multiplicada, que nos diz que a derivada de é , onde é uma constante.
  1. Derivada de :
    Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de é . Então:
Agora, aplicando a regra de constante multiplicada:

Resposta

A função derivada de é:

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seja contínua.
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Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
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Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
, sen .