Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
alpha(t)=(t^3+3 t, t^2+4 t), r(t)=(3 t+3, t-4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra encontrar os pontos onde uma curva é tangente a uma reta específica. A curva está dada pela função paramétrica alpha(t) = (t^3+3 t, t^2+4 t) e a reta pela função paramétrica r(t) = (3 t+3, t-4). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a tangente e igualar as direções das duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser tangente. Uma curva é tangente a uma reta em um ponto se:
  1. As duas curvas passam pelo mesmo ponto.
  2. As direções (ou inclinações) dessas curvas nesse ponto são iguais.
Então, pra achar onde a curva alpha(t) é tangente à reta r(t), precisamos encontrar valores de t que satisfaçam essas duas condições.

Passo 3

Vamos começar igualando as coordenadas das duas funções para encontrar os pontos em comum.
Temos:
t^3 + 3t = 3s + 3
t^2 + 4t = s - 4
Aqui, s é o parâmetro da reta r(t) e t é o parâmetro da curva alpha(t). Nosso objetivo é encontrar valores de t e s que resolvam esse sistema de equações.

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para s:
s = t^2 + 4t + 4
Agora, substituímos esse valor de s na primeira equação:
t^3 + 3t = 3(t^2 + 4t + 4) + 3
t^3 + 3t = 3t^2 + 12t + 12 + 3
t^3 + 3t = 3t^2 + 12t + 15

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
t^3 - 3t^2 - 9t - 15 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para achar os valores de t que satisfazem a condição de interseção.

Passo 6

Tentando encontrar raízes racionais, testamos possíveis valores e encontramos que t = 3 é uma raiz:
3^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 15 = 27 - 27 - 27 - 15 = -42 neq 0
Parece que não há raízes racionais simples, então podemos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Contudo, para simplificar, vamos assumir que t = -3 é uma raiz:
(-3)^3 - 3(-3)^2 - 9(-3) - 15 = -27 - 27 + 27 - 15 = -42 neq 0
Parece que não encontramos uma raiz fácil, então precisamos usar outro método, como a derivada, para encontrar a condição de tangência.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas das duas funções para encontrar as direções das tangentes:
alpha'(t) = (3t^2 + 3, 2t + 4)
r'(s) = (3, 1)
Para que as direções sejam iguais, temos que:
3t^2 + 3 = 3 e 2t + 4 = 1
Da primeira equação:
3t^2 + 3 = 3 implies 3t^2 = 0 implies t = 0
Da segunda equação:
2t + 4 = 1 implies 2t = -3 implies t = -32
Aqui, não há um valor de t que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo, o que indica que talvez não haja pontos de tangência entre a curva e a reta dadas.

Resposta

Não existe nenhum ponto onde a curva alpha(t) é tangente à reta r(t).

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