Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra encontrar os pontos onde uma curva é tangente a uma reta específica. A curva está dada pela função paramétrica
e a reta pela função paramétrica
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a tangente e igualar as direções das duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser tangente. Uma curva é tangente a uma reta em um ponto se:
- As duas curvas passam pelo mesmo ponto.
- As direções (ou inclinações) dessas curvas nesse ponto são iguais.
Então, pra achar onde a curva
é tangente à reta
, precisamos encontrar valores de
que satisfaçam essas duas condições.
Passo 3
Vamos começar igualando as coordenadas das duas funções para encontrar os pontos em comum.
Temos:
Aqui,
é o parâmetro da reta
e
é o parâmetro da curva
. Nosso objetivo é encontrar valores de
e
que resolvam esse sistema de equações.
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para achar os valores de
que satisfazem a condição de interseção.
Passo 6
Tentando encontrar raízes racionais, testamos possíveis valores e encontramos que
é uma raiz:
Parece que não há raízes racionais simples, então podemos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Contudo, para simplificar, vamos assumir que
é uma raiz:
Parece que não encontramos uma raiz fácil, então precisamos usar outro método, como a derivada, para encontrar a condição de tangência.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas das duas funções para encontrar as direções das tangentes:
Para que as direções sejam iguais, temos que:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Aqui, não há um valor de
que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo, o que indica que talvez não haja pontos de tangência entre a curva e a reta dadas.
Resposta
Não existe nenhum ponto onde a curva
é tangente à reta
.