Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
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Passo 1
Beleza, temos um exercício que quer a gente encontrar os pontos da curva onde a derivada é igual ao vetor zero. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar calcular a derivada da curva e depois resolver onde ela se anula.
Passo 2
A curva é dada por:
Aqui,
é a nossa variável. Para achar a derivada da curva, vamos derivar cada componente dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira coordenada:
Agora, derivamos a segunda coordenada:
Então, a derivada da curva é:
Passo 4
Queremos encontrar os pontos onde essa derivada é igual ao vetor nulo, ou seja:
Isso significa que ambas as componentes da derivada devem ser zero simultaneamente.
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Passo 6
Começamos pela segunda equação:
Então, as possíveis soluções para
são 1 e -1.
Passo 7
Vamos verificar esses valores na primeira equação para ver quais satisfazem ambas as equações:
Para
:
Para
:
Só
satisfaz as duas equações.
Resposta
O único ponto onde a derivada da curva é o vetor nulo é
.
Exercícios relacionados
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
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Calcule os seguintes limites.
.
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
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Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.