Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
;

Passo 1

Beleza, temos um exercício que quer a gente encontrar os pontos da curva onde a derivada é igual ao vetor zero. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar calcular a derivada da curva e depois resolver onde ela se anula.

Passo 2

A curva é dada por:
Aqui, é a nossa variável. Para achar a derivada da curva, vamos derivar cada componente dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira coordenada:
Agora, derivamos a segunda coordenada:
Então, a derivada da curva é:

Passo 4

Queremos encontrar os pontos onde essa derivada é igual ao vetor nulo, ou seja:
Isso significa que ambas as componentes da derivada devem ser zero simultaneamente.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 6

Começamos pela segunda equação:
Então, as possíveis soluções para são 1 e -1.

Passo 7

Vamos verificar esses valores na primeira equação para ver quais satisfazem ambas as equações:
Para :
á
Para :
á
satisfaz as duas equações.

Resposta

O único ponto onde a derivada da curva é o vetor nulo é .

Exercícios relacionados

Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
;
Calcule os seguintes limites.
.
Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada.
;
Calcule o comprimento das curvas a seguir, nos correspondentes intervalos.