Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
alpha(t)=(2 x^3+3 x^2-12 x, x^3-3 x);

Passo 1

Beleza, temos um exercício que quer a gente encontrar os pontos da curva onde a derivada é igual ao vetor zero. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas de curvas paramétricas. Vamos precisar calcular a derivada da curva e depois resolver onde ela se anula.

Passo 2

A curva é dada por:
alpha(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x, , x^3 - 3x)
Aqui, é a nossa variável. Para achar a derivada da curva, vamos derivar cada componente dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira coordenada:
ddx(2x^3 + 3x^2 - 12x) = 6x^2 + 6x - 12
Agora, derivamos a segunda coordenada:
ddx(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3
Então, a derivada da curva é:
alpha'(x) = (6x^2 + 6x - 12, , 3x^2 - 3)

Passo 4

Queremos encontrar os pontos onde essa derivada é igual ao vetor nulo, ou seja:
(6x^2 + 6x - 12, , 3x^2 - 3) = (0, 0)
Isso significa que ambas as componentes da derivada devem ser zero simultaneamente.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 6

Começamos pela segunda equação:
3x^2 - 3 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = pm 1
Então, as possíveis soluções para são 1 e -1.

Passo 7

Vamos verificar esses valores na primeira equação para ver quais satisfazem ambas as equações:
Para 6(1)^2 + 6(1) - 12 = 6 + 6 - 12 = 0 (válido) :
6(-1)^2 + 6(-1) - 12 = 6 - 6 - 12 = -12 neq 0 (inválido) á
Para :
á
satisfaz as duas equações.

Resposta

O único ponto onde a derivada da curva é o vetor nulo é .

Exercícios relacionados