Calcule os valores de a e b tais que a função
alpha(t)= (a t+b, 4 t-3), & se t >= 1 (2 t+3,2 a t^2-b), & se t<1
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e de uma função que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . A gente vai precisar entender sobre continuidade de funções, que basicamente garante que a função não tenha “saltos” ou “quebras”. Para que seja contínua, os dois trechos da função devem se “encaixar” perfeitamente no ponto onde mudam, que nesse caso é quando .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para alpha(t) = (a t + b, , 4 t - 3) :
alpha(t) = (2 t + 3, , 2 a t^2 - b)
E para :
Para garantir a continuidade em , os valores das funções nos dois lados de devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular alpha(1) = (a cdot 1 + b, , 4 cdot 1 - 3) = (a + b, , 1) para cada lado.
Para alpha(1) = (2 cdot 1 + 3, , 2 a cdot 1^2 - b) = (5, , 2a - b) :
Para :

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes das duas expressões de a + b = 5 :
Para a primeira componente:
2a - b = 1
Para a segunda componente:

Passo 5

Temos agora um sistema de equações:
a + b = 5 2a - b = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Somando as duas equações:
(a + b) + (2a - b) = 5 + 1 3a = 6 a = 2

Passo 7

Substituindo 2 + b = 5 b = 3 na primeira equação:

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são e .

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