Calcule os comutadores [H, x] em que H=px^2 / 2 m+V(x), sendo que:
i. V(x)=V, uma constante;
ii. V(x)=12 k x^2
iii. V(x) V(r)=e^2 / 4 pi epsilon0 r

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores , onde . A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente o estudo de operadores e comutadores. Vamos precisar entender como os operadores de posição e momento interagem, além de conhecer as propriedades básicas dos comutadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de um comutador: para dois operadores [H, x] = [px^22m + V(x), x] = 12m[px^2, x] + [V(x), x] e , o comutador é dado por . No nosso caso, queremos calcular . Substituindo :
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 3

Primeiro, consideremos [px^2, x] = px [px, x] + [px, x] px . Usando a propriedade que [px^2, x] = px (-ihbar) + (-ihbar) px = -ihbar px - ihbar px = -2ihbar px , temos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Se é uma função que depende apenas de , então e comutam, ou seja, .

Passo 5

Juntando tudo, temos:
[H, x] = 12m (-2ihbar px) + 0 = -ihbarm px
Para os diferentes casos de :
i. Se (constante), o resultado permanece o mesmo: .
ii. Se , ainda assim, como depende apenas de , o comutador , então .
iii. Se , onde é a distância, assumindo que estamos em uma dimensão radial, também depende apenas de , então , e o comutador , onde é o operador momento radial.

Resposta

Os comutadores são:
i. ;
ii. ;
iii. .

Exercícios relacionados