Calcule os comutadores
em que
, sendo que:
i.
, uma constante;
ii.
iii.
i.
ii.
iii.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores
, onde
. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente o estudo de operadores e comutadores. Vamos precisar entender como os operadores de posição
e momento
interagem, além de conhecer as propriedades básicas dos comutadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de um comutador: para dois operadores
e
, o comutador é dado por
. No nosso caso, queremos calcular
. Substituindo
:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 3
Primeiro, consideremos
. Usando a propriedade que
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Se
é uma função que depende apenas de
, então
e
comutam, ou seja,
.
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Para os diferentes casos de
:
i. Se
(constante), o resultado permanece o mesmo:
.
ii. Se
, ainda assim, como
depende apenas de
, o comutador
, então
.
iii. Se
, onde
é a distância, assumindo que estamos em uma dimensão radial,
também depende apenas de
, então
, e o comutador
, onde
é o operador momento radial.
Resposta
Os comutadores
são:
i.
;
ii.
;
iii.
.
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