Calcule os comutadores em que , sendo que:
i. , uma constante;
ii.
iii.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores , onde . A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente o estudo de operadores e comutadores. Vamos precisar entender como os operadores de posição e momento interagem, além de conhecer as propriedades básicas dos comutadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de um comutador: para dois operadores e , o comutador é dado por . No nosso caso, queremos calcular . Substituindo :
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 3

Primeiro, consideremos . Usando a propriedade que , temos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Se é uma função que depende apenas de , então e comutam, ou seja, .

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Para os diferentes casos de :
i. Se (constante), o resultado permanece o mesmo: .
ii. Se , ainda assim, como depende apenas de , o comutador , então .
iii. Se , onde é a distância, assumindo que estamos em uma dimensão radial, também depende apenas de , então , e o comutador , onde é o operador momento radial.

Resposta

Os comutadores são:
i. ;
ii. ;
iii. .

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