Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício pede para identificar quais combinações de operador e função formam equações de autovalor e para encontrar os autovalores das autofunções. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Vamos precisar entender o conceito de equação de autovalor e como aplicar operadores diferenciais em funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de autovalor. É uma equação da forma:
Aqui, é o operador, é a função (autofunção) e é o número (autovalor). Basicamente, aplicar o operador na função retorna a função original multiplicada por um número escalar.

Passo 3

No nosso caso, o operador é a segunda derivada em relação a , que escrevemos como , e a função é . Vamos aplicar o operador na função:

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de . Primeiro, derivamos uma vez:
Agora, derivamos novamente:

Passo 5

Observamos que ao aplicar o operador na função , obtemos:
Isso está na forma da equação de autovalor, onde:

Resposta

A combinação do operador com a função fornece uma equação de autovalor, onde o autovalor é .

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