Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O exercício pede para identificar quais combinações de operador e função formam equações de autovalor e para encontrar os autovalores das autofunções. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Vamos precisar entender o conceito de equação de autovalor e como aplicar operadores diferenciais em funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de autovalor. É uma equação da forma:
Aqui,
é o operador,
é a função (autofunção) e
é o número (autovalor). Basicamente, aplicar o operador na função retorna a função original multiplicada por um número escalar.
Passo 3
No nosso caso, o operador é a segunda derivada em relação a
, que escrevemos como
, e a função é
. Vamos aplicar o operador na função:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de
. Primeiro, derivamos uma vez:
Agora, derivamos novamente:
Passo 5
Observamos que ao aplicar o operador na função
, obtemos:
Isso está na forma da equação de autovalor, onde:
Resposta
A combinação do operador
com a função
fornece uma equação de autovalor, onde o autovalor é
.
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em que
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