Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções? d^2d x^2(cos x4)

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício pede para identificar quais combinações de operador e função formam equações de autovalor e para encontrar os autovalores das autofunções. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Vamos precisar entender o conceito de equação de autovalor e como aplicar operadores diferenciais em funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de autovalor. É uma equação da forma:
O psi = lambda psi
Aqui, O é o operador, psi é a função (autofunção) e lambda é o número (autovalor). Basicamente, aplicar o operador na função retorna a função original multiplicada por um número escalar.

Passo 3

No nosso caso, o operador é a segunda derivada em relação a x, que escrevemos como d^2d x^2, e a função é cos x4. Vamos aplicar o operador na função:
d^2d x^2 ( cos x4 )

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de cos x4. Primeiro, derivamos uma vez:
ddx ( cos x4 ) = -14 sin x4
Agora, derivamos novamente:
d^2d x^2 ( cos x4 ) = -14 cdot ddx ( sin x4 ) = -14 cdot 14 cos x4 = -116 cos x4

Passo 5

Observamos que ao aplicar o operador na função cos x4, obtemos:
d^2d x^2 ( cos x4 ) = -116 cos x4
Isso está na forma da equação de autovalor, onde:
  • O = d^2d x^2
  • psi = cos x4
  • lambda = -116

Resposta

A combinação do operador d^2d x^2 com a função cos x4 fornece uma equação de autovalor, onde o autovalor é lambda = -116.

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