Considere o sistema lienar:
& -x1+2 x2-x3 =1 & 2 x1-x2=1 & -x2+2 x3-x4=1 & -x3+x4=1
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma forma de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações lineares. Primeiro, vamos entender o que é necessário: reordenar as equações de modo que o método de Gauss-Seidel funcione direitinho, garantindo que a solução convirja.

Passo 2

O primeiro passo é reordenar as equações para que o sistema seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o coeficiente da variável principal (como na primeira equação) deve ser maior que a soma dos demais coeficientes das outras variáveis. Isso ajuda a garantir que o método de Gauss-Seidel vai funcionar bem.

Passo 3

Vamos analisar as equações originais:
& -x1 + 2x2 - x3 = 1 (Equação 1) & 2x1 - x2 = 1 (Equação 2) & -x2 + 2x3 - x4 = 1 (Equação 3) & -x3 + x4 = 1 (Equação 4) çãçãçãçã
Vamos rearranjar para tentar ter coeficientes principais positivos e maiores. Podemos reescrever a Equação 1 multiplicando por -1:
x1 - 2x2 + x3 = -1 (Equação 1 rearranjada) çã
Agora, o sistema fica assim:
& x1 - 2x2 + x3 = -1 & 2x1 - x2 = 1 & -x2 + 2x3 - x4 = 1 & -x3 + x4 = 1

Passo 4

Vamos verificar a dominância diagonal:
  • Equação 1: Coeficiente de & 2x1 - x2 = 1 (Nova Equação 1) & x1 - 2x2 + x3 = -1 (Nova Equação 2) & -x2 + 2x3 - x4 = 1 (Equação 3) & -x3 + x4 = 1 (Equação 4) é 1. A soma dos outros coeficientes é . Aqui, o coeficiente principal não é maior que a soma dos outros.
  • Equação 2: Coeficiente de é 2. Soma dos outros é . Aqui está bom porque 2 > 1.
  • Equação 3: Coeficiente de é 2. Soma dos outros é . Igual, mas preferencialmente queremos que seja maior.
  • Equação 4: Coeficiente de é 1. Soma dos outros é . Igual novamente.
Para melhorar a dominância diagonal, vamos trocar a Equação 1 com a Equação 2:
çãçãçãçã
Agora, verificando novamente:
  • Nova Equação 1: . Coeficiente de é 2, e a soma dos outros coeficientes é 1. 2 > 1, está bom.
  • Nova Equação 2: . Coeficiente de é -2, mas vamos considerar o valor absoluto: 2. Soma dos outros é . Igual, mas vamos seguir em frente.
  • Equação 3 e Equação 4 permanecem iguais e já estavam próximas do ideal.

Passo 5

Agora que temos o sistema reordenado e com melhor dominância diagonal, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método resolve o sistema iterativamente, atualizando cada variável com base nas últimas informações disponíveis.
As fórmulas de iteração para cada equação ficam assim:
  1. Da Equação 1:
    x1^(k+1) = 1 + x2^(k)2
  2. Da Equação 2:
    x2^(k+1) = x1^(k+1) + x3^(k)2
  3. Da Equação 3:
    x3^(k+1) = 1 + x2^(k+1) + x4^(k)2
  4. Da Equação 4:
    x4^(k+1) = 1 + x3^(k+1)
Aqui, representa a iteração atual e a próxima.

Resposta

Reordenando as equações para garantir a dominância diagonal, aplicamos o método de Gauss-Seidel com as seguintes fórmulas de iteração:
x1^(k+1) &= 1 + x2^(k)2 x2^(k+1) &= x1^(k+1) + x3^(k)2 x3^(k+1) &= 1 + x2^(k+1) + x4^(k)2 x4^(k+1) &= 1 + x3^(k+1)
Essas fórmulas permitem que você atualize cada variável iterativamente até que as soluções convirjam para os valores que resolvem o sistema.

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