Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma forma de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações lineares. Primeiro, vamos entender o que é necessário: reordenar as equações de modo que o método de Gauss-Seidel funcione direitinho, garantindo que a solução convirja.
Passo 2
O primeiro passo é reordenar as equações para que o sistema seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o coeficiente da variável principal (como
na primeira equação) deve ser maior que a soma dos demais coeficientes das outras variáveis. Isso ajuda a garantir que o método de Gauss-Seidel vai funcionar bem.
Passo 3
Vamos analisar as equações originais:
Vamos rearranjar para tentar ter coeficientes principais positivos e maiores. Podemos reescrever a Equação 1 multiplicando por -1:
Agora, o sistema fica assim:
Passo 4
Vamos verificar a dominância diagonal:
-
Equação 1: Coeficiente de
é 1. A soma dos outros coeficientes é . Aqui, o coeficiente principal não é maior que a soma dos outros. -
Equação 2: Coeficiente de
é 2. Soma dos outros é . Aqui está bom porque 2 > 1. -
Equação 3: Coeficiente de
é 2. Soma dos outros é . Igual, mas preferencialmente queremos que seja maior. -
Equação 4: Coeficiente de
é 1. Soma dos outros é . Igual novamente.
Para melhorar a dominância diagonal, vamos trocar a Equação 1 com a Equação 2:
Agora, verificando novamente:
-
Nova Equação 1:
. Coeficiente de é 2, e a soma dos outros coeficientes é 1. 2 > 1, está bom. -
Nova Equação 2:
. Coeficiente de é -2, mas vamos considerar o valor absoluto: 2. Soma dos outros é . Igual, mas vamos seguir em frente. -
Equação 3 e Equação 4 permanecem iguais e já estavam próximas do ideal.
Passo 5
Agora que temos o sistema reordenado e com melhor dominância diagonal, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método resolve o sistema iterativamente, atualizando cada variável com base nas últimas informações disponíveis.
As fórmulas de iteração para cada equação ficam assim:
-
Da Equação 1:
-
Da Equação 2:
-
Da Equação 3:
-
Da Equação 4:
Aqui,
representa a iteração atual e
a próxima.
Resposta
Reordenando as equações para garantir a dominância diagonal, aplicamos o método de Gauss-Seidel com as seguintes fórmulas de iteração:
Essas fórmulas permitem que você atualize cada variável iterativamente até que as soluções convirjam para os valores que resolvem o sistema.