Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma forma de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações lineares. Primeiro, vamos entender o que é necessário: reordenar as equações de modo que o método de Gauss-Seidel funcione direitinho, garantindo que a solução convirja.

Passo 2

O primeiro passo é reordenar as equações para que o sistema seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o coeficiente da variável principal (como na primeira equação) deve ser maior que a soma dos demais coeficientes das outras variáveis. Isso ajuda a garantir que o método de Gauss-Seidel vai funcionar bem.

Passo 3

Vamos analisar as equações originais:
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Vamos rearranjar para tentar ter coeficientes principais positivos e maiores. Podemos reescrever a Equação 1 multiplicando por -1:
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Agora, o sistema fica assim:

Passo 4

Vamos verificar a dominância diagonal:
  • Equação 1: Coeficiente de é 1. A soma dos outros coeficientes é . Aqui, o coeficiente principal não é maior que a soma dos outros.
  • Equação 2: Coeficiente de é 2. Soma dos outros é . Aqui está bom porque 2 > 1.
  • Equação 3: Coeficiente de é 2. Soma dos outros é . Igual, mas preferencialmente queremos que seja maior.
  • Equação 4: Coeficiente de é 1. Soma dos outros é . Igual novamente.
Para melhorar a dominância diagonal, vamos trocar a Equação 1 com a Equação 2:
çãçãçãçã
Agora, verificando novamente:
  • Nova Equação 1: . Coeficiente de é 2, e a soma dos outros coeficientes é 1. 2 > 1, está bom.
  • Nova Equação 2: . Coeficiente de é -2, mas vamos considerar o valor absoluto: 2. Soma dos outros é . Igual, mas vamos seguir em frente.
  • Equação 3 e Equação 4 permanecem iguais e já estavam próximas do ideal.

Passo 5

Agora que temos o sistema reordenado e com melhor dominância diagonal, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método resolve o sistema iterativamente, atualizando cada variável com base nas últimas informações disponíveis.
As fórmulas de iteração para cada equação ficam assim:
  1. Da Equação 1:
  2. Da Equação 2:
  3. Da Equação 3:
  4. Da Equação 4:
Aqui, representa a iteração atual e a próxima.

Resposta

Reordenando as equações para garantir a dominância diagonal, aplicamos o método de Gauss-Seidel com as seguintes fórmulas de iteração:
Essas fórmulas permitem que você atualize cada variável iterativamente até que as soluções convirjam para os valores que resolvem o sistema.

Exercícios relacionados

Seja um sistema linear onde e . A função calcula o raio espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a convergência, que relação podemos esperar entre e ? Justifique sua resposta.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) Cascalho <br> Fino (%) Cascalho <br> Grosso (%)
Mina 1 55 30 15
Mina 2 25 45 30
Mina 3 25 20 55
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e .
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com
b) com
c)