Calcule a derivada direcional de
na direção
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em diferentes direções. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, a derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica. Para isso, precisamos transformar o vetor direção
em um vetor unitário, que tem comprimento 1. Isso ajuda a padronizar a direção para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor
:
Agora, normalizamos o vetor dividindo cada componente pelo comprimento:
Passo 4
Em seguida, encontramos o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção escolhida:
Resposta
A derivada direcional de
na direção
é
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
Mostre que a função
não é diferenciável em
.
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde: