Mostre que a função
não é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar que ela não é diferenciável no ponto
. Isso tá relacionado ao estudo de diferenciabilidade em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição se cumpre nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Essencialmente, se a função for suave o suficiente ali, sem “quebras” ou “pontas”.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de cada variável.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
. Observamos que:
Aqui, temos um problema: estamos tentando elevar zero a potências negativas, o que não está definido. Isso indica que as derivadas parciais não existem no ponto
.
Passo 6
A inexistência das derivadas parciais no ponto
já nos dá um forte indício de que a função não é diferenciável ali. Além disso, para que a função fosse diferenciável, seria necessário que ela fosse contínua e tivesse derivadas parciais contínuas nesse ponto, o que não ocorre.
Resposta
Portanto, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Seja
Mostre que é contínua em
.
Mostre que
Seja
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
Calcule a derivada direcional de
na direção
.