Mostre que a função f(x, y)=x^13 y^13 não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela não é diferenciável no ponto . Isso tá relacionado ao estudo de diferenciabilidade em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição se cumpre nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Essencialmente, se a função for suave o suficiente ali, sem “quebras” ou “pontas”.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de cada variável.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de fx(x, y) = partialpartial x ( x^13 y^13 ) = 13 x^-23 y^13 em relação a fy(x, y) = partialpartial y ( x^13 y^13 ) = 13 x^13 y^-23 :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(0, 0) = 13 cdot 0^-23 cdot 0^13 e fy(0, 0) = 13 cdot 0^13 cdot 0^-23 . Observamos que:
Aqui, temos um problema: estamos tentando elevar zero a potências negativas, o que não está definido. Isso indica que as derivadas parciais não existem no ponto .

Passo 6

A inexistência das derivadas parciais no ponto já nos dá um forte indício de que a função não é diferenciável ali. Além disso, para que a função fosse diferenciável, seria necessário que ela fosse contínua e tivesse derivadas parciais contínuas nesse ponto, o que não ocorre.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em .

Exercícios relacionados