Seja f(x, y)=2-x^2-y^2.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Cálculo Multivariável. A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida pela função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície naquele ponto e, a partir daí, montar as equações que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície é como uma montanha e o plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente no ponto , sem cortar a montanha ali. Para encontrar esse plano, precisamos saber como a superfície está inclinada naquele ponto, e isso a gente faz calculando as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx(x, y) = partial fpartial x = -2x . A derivada parcial em relação a fy(x, y) = partial fpartial y = -2y é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(0, 0) = -2(0) = 0 . Substituindo fy(0, 0) = -2(0) = 0 e :
Então, as derivadas parciais no ponto são e .

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) no ponto z = 2 + 0(x - 0) + 0(y - 0) Rightarrow z = 2 é:
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente no ponto dado. Para isso, precisamos da vetor normal ao plano, que é formado pelas derivadas parciais x = 0 + 0 cdot t = 0 y = 0 + 0 cdot t = 0 z = 2 + (-1) cdot t = 2 - t e . No nosso caso, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:

Resposta

Plano Tangente: x = 0 y = 0 z = 2 - t
Reta Normal:
onde é um parâmetro real.

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Mostre que a função f(x, y)=x^13 y^13 não é diferenciável em (0,0).
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=2 x y^3+x sen x
Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2+y^2 na direção (2,2).
Seja f(x, y)=x+y^2-1. Calcule:
f(x+h, y)-f(x, y)h