Seja .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Cálculo Multivariável. A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida pela função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície naquele ponto e, a partir daí, montar as equações que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície é como uma montanha e o plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente no ponto , sem cortar a montanha ali. Para encontrar esse plano, precisamos saber como a superfície está inclinada naquele ponto, e isso a gente faz calculando as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Substituindo e :
Então, as derivadas parciais no ponto são e .
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente no ponto dado. Para isso, precisamos da vetor normal ao plano, que é formado pelas derivadas parciais e . No nosso caso, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é: