Calcule a derivada da função.
(d) y=sen^2(cos 3 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Esse problema envolve a derivação de funções compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas, como o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que temos uma função composta aqui. Temos o seno ao quadrado de outra função, que é . Para derivar , onde , precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos começar derivando f'(u) = 2 cdot sen(u) cdot cos(u) . Usando a regra da potência, a derivada de é:
Isso também pode ser escrito como .

Passo 5

Agora, vamos derivar g'(x) = -sen(3x) cdot 3 = -3,sen(3x) . A derivada do cosseno é o seno negativo multiplicado pela derivada do argumento:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos dydx = f'(u) cdot g'(x) = 2,sen(cos 3x)cos(cos 3x) cdot (-3,sen(3x)) por :

Passo 7

Simplificando a expressão:
dydx = -6,sen(cos 3x)cos(cos 3x)sen(3x)

Resposta

A derivada da função é:
dydx = -6,sen(cos 3x)cos(cos 3x)sen(3x)

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