Calcule os limites.
© lim x pi e^sen x-1x-pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hospital quando encontramos formas indeterminadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra e calcular derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite está numa forma indeterminada. Substituindo e^sin pi - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0 no numerador e no denominador:
x - pi = pi - pi = 0
Então, temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos usar a Regra de L’Hospital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se resulta em ou , então esse limite pode ser encontrado calculando , onde e são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador f'(x) = e^sin x cdot cos x :
g'(x) = 1
  • Derivada do denominador limx pi e^sin x cdot cos x1 :
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:

Passo 5

Agora, substituímos e^sin pi cdot cos pi = e^0 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1 na expressão obtida:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados