Calcule a derivada das funções a seguir:
© u=e^x cos x+(x^2-1)(x+5);

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente as regras de derivação de funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais. Precisamos aplicar a regra do produto e a regra da soma para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto: se e são funções diferenciáveis, então a derivada de é .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  • A derivada de ddx(e^x cos x) = e^x cdot (-sin x) + e^x cdot cos x = e^x (cos x - sin x) é (porque a derivada da função exponencial é ela mesma).
  • A derivada de é .
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte ddx[(x^2-1)(x+5)] = (x^2-1) cdot ddx(x+5) + (x+5) cdot ddx(x^2-1) . Novamente, temos um produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto:

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • A derivada de (x^2-1) cdot 1 + (x+5) cdot 2x = (x^2-1) + 2x(x+5) é 1.
  • A derivada de x^2 - 1 + 2x^2 + 10x = 3x^2 + 10x - 1 é .
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:
u' = e^x (cos x - sin x) + 3x^2 + 10x - 1

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