Calcule a derivada das funções a seguir:
(f) w=cos (e^3 x);

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a derivada da função . Isso está dentro do estudo de derivadas de funções compostas em cálculo. Para resolver, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Aqui, temos uma função composta onde:
  • A função externa é , onde .
  • A função interna é .
A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta em relação a é a derivada da função externa em relação a multiplicada pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa ddu cos(u) = -sin(u) em relação a . A derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna dudx = 3 e^3x em relação a . A derivada de em relação a é , onde é uma constante. Aqui, . Então:

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
dwdx = ddu cos(u) cdot dudx = -sin(u) cdot 3 e^3x

Passo 6

Por fim, substituímos dwdx = -3 e^3x sin(e^3x) de volta pela expressão original :

Resposta

A derivada da função é:
dwdx = -3 e^3x sin(e^3x)

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