Calcule as derivadas abaixo através da definição f^prime(x)=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h.
f(x)=5 x^2, no ponto x0=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Isso significa que vamos aplicar o conceito de limite para encontrar a taxa de variação da função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada:
f^prime(x0) = limh 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Aqui, representa a derivada de no ponto , e é um pequeno incremento em .

Passo 3

Agora, vamos substituir f(5 + h) = 5(5 + h)^2 e f(5 + h) = 5(25 + 10h + h^2) = 125 + 50h + 5h^2 na definição. Nossa função é e . Então,
Vamos expandir isso:

Passo 4

Substituindo de volta na definição da derivada:
f^prime(5) = limh 0 (125 + 50h + 5h^2) - 125h = limh 0 50h + 5h^2h
Simplificando a fração dividindo cada termo por f^prime(5) = limh 0 (50 + 5h) :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite conforme f^prime(5) = 50 + 5(0) = 50 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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