Calcule as derivadas abaixo através da definição f^prime(x)=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h.
f(x)=x^2+2 x, no ponto x0=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f^prime(x) = lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h no ponto usando a definição de derivada. A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto específico. Para isso, vamos usar a fórmula:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f^prime(3) = lim h 0 f(3+h)-f(3)h na fórmula. Isso fica assim:

Passo 3

Agora, precisamos calcular f(3+h) = (3+h)^2 + 2(3+h) e (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2 . Vamos começar com 2(3+h) = 6 + 2h :
f(3+h) = 9 + 6h + h^2 + 6 + 2h = 15 + 8h + h^2
Expandindo esse cálculo:
f(3) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da derivada:
f^prime(3) = lim h 0 (15 + 8h + h^2) - 15h = lim h 0 8h + h^2h

Passo 5

Simplificando a fração:
8h + h^2h = 8 + h
Então, a expressão da derivada fica:
f^prime(3) = lim h 0 (8 + h)

Passo 6

Agora, aplicamos o limite conforme f^prime(3) = 8 + 0 = 8 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada da função no ponto é 8.

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