Calcule as derivadas abaixo através da definição f^prime(x)=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h.
f(x)=x^2-3, no ponto x0=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar o conceito de limite aplicado à diferença de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada:
f^prime(x) = limh 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Aqui, representa uma pequena variação em . Nosso objetivo é calcular esse limite para encontrar a derivada no ponto .

Passo 3

Vamos substituir f^prime(2) = limh 0 f(2 + h) - f(2)h na definição:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3 = 4 + 4h + h^2 - 3 = 1 + 4h + h^2 :
f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1
Calculando :

Passo 5

Substituindo f^prime(2) = limh 0 (1 + 4h + h^2) - 1h = limh 0 4h + h^2h e na definição da derivada:

Passo 6

Simplificando a expressão:
f^prime(2) = limh 0 h(4 + h)h = limh 0 (4 + h)

Passo 7

Agora, aplicando o limite quando f^prime(2) = 4 + 0 = 4 tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 4.

Exercícios relacionados