Teste o Método de Gauss-Seidel para o sistema:
x+2 y-3 z=2 ; 3 x+y-z=4 ; 0,5 x+y-5 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
x + 2y - 3z = 2 3x + y - z = 4 0,5x + y - 5z = 1
O Método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para isso, precisamos rearranjar cada equação para isolar uma das variáveis em termos das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar cada equação para isolar x = 2 - 2y + 3z , y = 4 - 3x + z e z = 15 (0,5x + y) respectivamente.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 3

Agora, escolhemos valores iniciais para x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0 , e . Vamos começar com:

Passo 4

Vamos fazer a primeira iteração (k = 1) usando as equações rearranjadas.
Calculando x^(1) = 2 - 2y^(0) + 3z^(0) = 2 - 2(0) + 3(0) = 2 :
y^(1) = 4 - 3x^(1) + z^(0) = 4 - 3(2) + 0 = 4 - 6 = -2
Calculando z^(1) = 15 (0,5x^(1) + y^(1)) = 15 (0,5(2) + (-2)) = 15 (1 - 2) = -15 = -0,2 :
Calculando :

Passo 5

Vamos fazer a segunda iteração (k = 2) usando os valores atualizados.
Calculando x^(2) = 2 - 2y^(1) + 3z^(1) = 2 - 2(-2) + 3(-0,2) = 2 + 4 - 0,6 = 5,4 :
y^(2) = 4 - 3x^(2) + z^(1) = 4 - 3(5,4) + (-0,2) = 4 - 16,2 - 0,2 = -12,4
Calculando z^(2) = 15 (0,5x^(2) + y^(2)) = 15 (0,5(5,4) + (-12,4)) = 15 (2,7 - 12,4) = 15 (-9,7) = -1,94 :
Calculando :

Passo 6

Vamos fazer mais uma iteração (k = 3) para melhorar a precisão.
Calculando x^(3) = 2 - 2y^(2) + 3z^(2) = 2 - 2(-12,4) + 3(-1,94) = 2 + 24,8 - 5,82 = 20,98 :
y^(3) = 4 - 3x^(3) + z^(2) = 4 - 3(20,98) + (-1,94) = 4 - 62,94 - 1,94 = -60,88
Calculando z^(3) = 15 (0,5x^(3) + y^(3)) = 15 (0,5(20,98) + (-60,88)) = 15 (10,49 - 60,88) = 15 (-50,39) = -10,078 :
Calculando :

Resposta

Após três iterações, os valores aproximados são:
x approx 20,98, y approx -60,88, z approx -10,078

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