Calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=ln (x y-1)x y-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede e o que precisamos para resolver. Temos a função

e queremos encontrar as derivadas parciais

e
.
Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = ux v - u vxv^2 em relação a , ou seja,
.
Como é um quociente, vamos aplicar a regra do quociente:
onde

e
.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de ux = yx y - 1 e vx = y em relação a partial fpartial x = (yx y - 1)(x y - 1) - ln(x y - 1) cdot y(x y - 1)^2 :
partial fpartial x = y - y ln(x y - 1)(x y - 1)^2 = y(1 - ln(x y - 1))(x y - 1)^2
Substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = uy v - u vyv^2 em relação a partial fpartial y = (xx y - 1)(x y - 1) - ln(x y - 1) cdot x(x y - 1)^2 , ou seja,
partial fpartial y = x - x ln(x y - 1)(x y - 1)^2 = x(1 - ln(x y - 1))(x y - 1)^2 .
Aplicamos novamente a regra do quociente:
onde

e
.
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y(1 - ln(x y - 1))(x y - 1)^2
partial fpartial y = x(1 - ln(x y - 1))(x y - 1)^2

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