Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para determinar se o limite existe, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos aproximar xraizx^2+0^2 = x|x| = 1 & se x > 0, -1 & se x < 0 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Isso significa que, ao se aproximar de pelo eixo , o limite depende do lado de onde está vindo. Se se aproxima de 0 pela direita ( ), o limite é 1. Se se aproxima pela esquerda ( ), o limite é -1.

Passo 3

Agora, vamos aproximar xraizx^2+x^2 = xraiz2x^2 = x|x|raiz2 = 1raiz2 & se x > 0, -1raiz2 & se x < 0 ao longo da reta . Substituindo na função, temos:
Dessa forma, ao se aproximar de pela linha , o limite também depende do lado de onde está vindo, sendo pela direita e pela esquerda.

Resposta

Como ao se aproximar de por diferentes caminhos (como pelo eixo e pela linha ), obtemos valores de limites diferentes ( ou pelo eixo e ou pela linha ), concluímos que o limite não existe.

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