Estudar a demonstração do Método das Aproximações Sucessivas.
Passo 1
Então, temos que estudar a demonstração do Método das Aproximações Sucessivas. Esse método faz parte da área de Análise Numérica e é usado para resolver equações de forma iterativa. Para entender a demonstração, vamos precisar conhecer conceitos como convergência de sequências e pontos fixos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é o Método das Aproximações Sucessivas. Basicamente, é um método iterativo para encontrar uma solução para a equação
, onde
é uma função adequada. A ideia é começar com uma estimativa inicial
e gerar uma sequência
através da relação
.
Passo 3
Para que o método funcione, precisamos garantir que a sequência
converge para uma solução da equação
. Isso geralmente envolve mostrar que
é uma contração em um intervalo, ou seja, que existe uma constante
tal que para todo
e
no intervalo,
.
Passo 4
Uma vez que
é uma contração, podemos aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante que existe um único ponto fixo
tal que
e que a sequência gerada pelas aproximações sucessivas
converge a esse ponto fixo.
Passo 5
Vamos detalhar o que significa a contracção e como ela assegura a convergência. A condição de contracção impede que a sequência oscile ou diverja, forçando-a a se aproximar cada vez mais do ponto fixo. Matematicamente, isso é mostrado através da desigualdade:
Com
, iterando a desigualdade, vemos que
tende a zero conforme
aumenta.
Passo 6
Finalmente, resumindo a demonstração: assumindo que
é uma função contracionante em um intervalo fechado, o Método das Aproximações Sucessivas gera uma sequência que converge de forma única para o ponto fixo
, solução da equação
.
Resposta
Assim, demonstramos que o Método das Aproximações Sucessivas converge para a solução
da equação
, desde que a função
seja uma contração no intervalo considerado.