Estudar a demonstração do Método das Aproximações Sucessivas.

Passo 1

Então, temos que estudar a demonstração do Método das Aproximações Sucessivas. Esse método faz parte da área de Análise Numérica e é usado para resolver equações de forma iterativa. Para entender a demonstração, vamos precisar conhecer conceitos como convergência de sequências e pontos fixos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é o Método das Aproximações Sucessivas. Basicamente, é um método iterativo para encontrar uma solução para a equação , onde é uma função adequada. A ideia é começar com uma estimativa inicial e gerar uma sequência através da relação .

Passo 3

Para que o método funcione, precisamos garantir que a sequência converge para uma solução da equação . Isso geralmente envolve mostrar que é uma contração em um intervalo, ou seja, que existe uma constante tal que para todo e no intervalo, .

Passo 4

Uma vez que é uma contração, podemos aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante que existe um único ponto fixo tal que e que a sequência gerada pelas aproximações sucessivas converge a esse ponto fixo.

Passo 5

Vamos detalhar o que significa a contracção e como ela assegura a convergência. A condição de contracção impede que a sequência oscile ou diverja, forçando-a a se aproximar cada vez mais do ponto fixo. Matematicamente, isso é mostrado através da desigualdade:
|xn+1 - x^*| = |g(xn) - g(x^*)| <= k|xn - x^*|
Com , iterando a desigualdade, vemos que tende a zero conforme aumenta.

Passo 6

Finalmente, resumindo a demonstração: assumindo que é uma função contracionante em um intervalo fechado, o Método das Aproximações Sucessivas gera uma sequência que converge de forma única para o ponto fixo , solução da equação .

Resposta

Assim, demonstramos que o Método das Aproximações Sucessivas converge para a solução da equação , desde que a função seja uma contração no intervalo considerado.

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