Suponha que representa a distribuição de temperatura no plano .
Determine a imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função que representa a distribuição de temperatura no plano . A função é dada por:
Nosso objetivo aqui é determinar a imagem dessa função, ou seja, todos os valores de temperatura que essa função pode assumir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções multivariáveis e como encontrar o intervalo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir quando variamos suas variáveis de entrada. No nosso caso, queremos saber todos os possíveis valores de conforme e variam.
Passo 3
Vamos analisar a expressão dentro da função:
Para que essa expressão seja válida (ou seja, para que a raiz quadrada seja um número real), o que está dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso nos dá a condição:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 no plano . Portanto, a função está definida apenas dentro desse círculo.
Passo 4
Agora, vamos focar na expressão completa de :
Sabemos que é sempre positivo dentro do nosso domínio (entre ). Quanto mais próximo estiver de 16, menor será o denominador, o que faz com que aumente.
Passo 5
Para encontrar a imagem de , vamos ver os limites inferior e superior que pode alcançar.
Mínimo de : Isso ocorre quando é máxima. A máxima ocorre quando e , então:
Portanto:
Máximo de : Teoricamente, à medida que se aproxima de 16, se aproxima de 0, fazendo tender ao infinito. Porém, nunca chega a ser infinito dentro do domínio da função.
Resposta
A imagem da função é o conjunto de todos os valores de temperatura tais que: