Suponha que representa a distribuição de temperatura no plano .
Determine a imagem da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função que representa a distribuição de temperatura no plano . A função é dada por:
Nosso objetivo aqui é determinar a imagem dessa função, ou seja, todos os valores de temperatura que essa função pode assumir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções multivariáveis e como encontrar o intervalo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir quando variamos suas variáveis de entrada. No nosso caso, queremos saber todos os possíveis valores de conforme e variam.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro da função:
Para que essa expressão seja válida (ou seja, para que a raiz quadrada seja um número real), o que está dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso nos dá a condição:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 no plano . Portanto, a função está definida apenas dentro desse círculo.

Passo 4

Agora, vamos focar na expressão completa de :
Sabemos que é sempre positivo dentro do nosso domínio (entre ). Quanto mais próximo estiver de 16, menor será o denominador, o que faz com que aumente.

Passo 5

Para encontrar a imagem de , vamos ver os limites inferior e superior que pode alcançar.
  • Mínimo de : Isso ocorre quando é máxima. A máxima ocorre quando e , então:
    Portanto:
    í
  • Máximo de : Teoricamente, à medida que se aproxima de 16, se aproxima de 0, fazendo tender ao infinito. Porém, nunca chega a ser infinito dentro do domínio da função.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os valores de temperatura tais que:
Ou seja, assume todos os valores maiores que .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais .
Sejam as matrizes . Calcule:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.