Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função , isto é, e , onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer como derivar funções envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada em relação a é:
Aqui, e .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Como , usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do quociente com e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: