Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=x+yraizy^2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer como derivar funções envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 em relação a dudx = ddx(x + y) = 1 + 0 = 1 , ou seja, dvdx = 12(y^2 - x^2)^-1/2 cdot (-2x) = -xraizy^2 - x^2 .
A função partial fpartial x(x, y) = raizy^2 - x^2 cdot 1 - (x + y) cdot ( -xraizy^2 - x^2 )y^2 - x^2 é um quociente, então vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função partial fpartial x(x, y) = raizy^2 - x^2 + x(x + y)raizy^2 - x^2y^2 - x^2 = (y^2 - x^2) + x(x + y)(y^2 - x^2)^3/2 , sua derivada em relação a partial fpartial x(x, y) = y^2 - x^2 + x^2 + xy(y^2 - x^2)^3/2 = y^2 + xy(y^2 - x^2)^3/2 é:
Aqui, e .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Como , usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de dudy = ddy(x + y) = 0 + 1 = 1 em relação a dvdy = 12(y^2 - x^2)^-1/2 cdot 2y = yraizy^2 - x^2 , ou seja, partial fpartial y(x, y) = raizy^2 - x^2 cdot 1 - (x + y) cdot ( yraizy^2 - x^2 )y^2 - x^2 .
Novamente, usamos a regra do quociente com partial fpartial y(x, y) = (y^2 - x^2) - y(x + y)(y^2 - x^2)^3/2 = y^2 - x^2 - xy - y^2(y^2 - x^2)^3/2 e partial fpartial y(x, y) = -x^2 - xy(y^2 - x^2)^3/2 = -x^2 + xy(y^2 - x^2)^3/2 .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x(x, y) = y^2 + xy(y^2 - x^2)^3/2 são:
partial fpartial y(x, y) = -x^2 + xy(y^2 - x^2)^3/2
e

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