Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer como derivar funções envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é um quociente, então vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada em relação a
é:
Aqui,
e
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Como
, usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente com
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e