Seja f(x, y)=x^2+y^2-2 x-6 y+14. Mostre que (1,3) é ponto de mínimo absoluto de f e 4 um valor de mínimo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: temos a função . O objetivo é mostrar que o ponto é um ponto de mínimo absoluto dessa função e que o valor mínimo absoluto é 4.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar mínimos e máximos de funções de duas variáveis. Vamos usar a técnica de completar o quadrado para simplificar a função e identificar o ponto de mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x^2 - 2x de uma forma que facilite a identificação do mínimo. Para isso, vamos completar o quadrado para as variáveis x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 e y^2 - 6y separadamente.
Vamos começar com os termos de y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2, resultando em -1, e então elevamos ao quadrado, ficando 1. Assim, podemos escrever:
Fazemos o mesmo para os termos de :
O coeficiente de é -6. Dividindo por 2, temos -3, e elevando ao quadrado, ficamos com 9. Então:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões de volta na função original:
f(x, y) = (x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 + 14
Vamos simplificar agora:
f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 14
f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 4

Passo 4

Observamos que tanto f(1, 3) = 0 + 0 + 4 = 4 quanto são expressões quadráticas que sempre são maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real não é negativo.
Então, o menor valor que pode assumir é 0, que ocorre quando e .
Substituindo esses valores na função:

Resposta

Portanto, o ponto é um ponto de mínimo absoluto da função e o valor mínimo absoluto da função é 4.

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f(x, y)=x^3 y^2+x y^4.
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