Seja
. Mostre que
é ponto de mínimo absoluto de
e 4 um valor de mínimo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: temos a função
. O objetivo é mostrar que o ponto
é um ponto de mínimo absoluto dessa função e que o valor mínimo absoluto é 4.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar mínimos e máximos de funções de duas variáveis. Vamos usar a técnica de completar o quadrado para simplificar a função e identificar o ponto de mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a identificação do mínimo. Para isso, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
separadamente.
Vamos começar com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2, resultando em -1, e então elevamos ao quadrado, ficando 1. Assim, podemos escrever:
Fazemos o mesmo para os termos de
:
O coeficiente de
é -6. Dividindo por 2, temos -3, e elevando ao quadrado, ficamos com 9. Então:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões de volta na função original:
Vamos simplificar agora:
Passo 4
Observamos que tanto
quanto
são expressões quadráticas que sempre são maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real não é negativo.
Então, o menor valor que
pode assumir é 0, que ocorre quando
e
.
Substituindo esses valores na função:
Resposta
Portanto, o ponto
é um ponto de mínimo absoluto da função
e o valor mínimo absoluto da função é 4.
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Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
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, isto é,
e
, onde:
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