Resolva o sistema linear:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
pelo método de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0)^top e varepsilon=0.05.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Precisamos reorganizar as equações para expressar cada variável em função das outras e repetir as iterações até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor que a tolerância varepsilon = 0.05. Vamos precisar dos valores iniciais (x^(0), y^(0), z^(0)) = (0, 0, 0).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar uma das variáveis. Isso ajuda no processo iterativo do Gauss-Seidel.
A partir do sistema:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
Isolamos cada variável:
  1. Para x1:
5x1 = 5 - x2 - x3 x1 = 5 - x2 - x35
  1. Para x2:
4x2 = 6 - 3x1 - x3 x2 = 6 - 3x1 - x34
  1. Para x3:
6x3 = -3x1 - 3x2 x3 = -3x1 - 3x26 = -x1 - x22

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com x^(0) = (0, 0, 0).
Primeira iteração (k=1):
  1. Calcular x1^(1):
x1^(1) = 5 - x2^(0) - x3^(0)5 = 5 - 0 - 05 = 1
  1. Calcular x2^(1):
x2^(1) = 6 - 3x1^(1) - x3^(0)4 = 6 - 3(1) - 04 = 34 = 0.75
  1. Calcular x3^(1):
x3^(1) = -x1^(1) - x2^(1)2 = -1 - 0.752 = -1.752 = -0.875
Então, x^(1) = (1, 0.75, -0.875).

Passo 4

Vamos para a segunda iteração (k=2) usando os valores de x^(1).
  1. Calcular x1^(2):
x1^(2) = 5 - x2^(1) - x3^(1)5 = 5 - 0.75 - (-0.875)5 = 5 - 0.75 + 0.8755 = 5.1255 = 1.025
  1. Calcular x2^(2):
x2^(2) = 6 - 3x1^(2) - x3^(1)4 = 6 - 3(1.025) - (-0.875)4 = 6 - 3.075 + 0.8754 = 3.84 = 0.95
  1. Calcular x3^(2):
x3^(2) = -x1^(2) - x2^(2)2 = -1.025 - 0.952 = -1.9752 = -0.9875
Então, x^(2) = (1.025, 0.95, -0.9875).

Passo 5

Agora, vamos verificar se a diferença entre x^(2) e x^(1) é menor que varepsilon = 0.05.
Calculamos De
Como 0.2 > 0.05, precisamos fazer mais uma iteração.
Terceira iteração (k=3):
  1. Calcular x1^(3):
x1^(3) = 5 - x2^(2) - x3^(2)5 = 5 - 0.95 - (-0.9875)5 = 5 - 0.95 + 0.98755 = 5.03755 = 1.0075
  1. Calcular x2^(3):
x2^(3) = 6 - 3x1^(3) - x3^(2)4 = 6 - 3(1.0075) - (-0.9875)4 = 6 - 3.0225 + 0.98754 = 3.9654 = 0.99125
  1. Calcular x3^(3):
x3^(3) = -x1^(3) - x2^(3)2 = -1.0075 - 0.991252 = -1.998752 = -0.999375
Então, x^(3) = (1.0075, 0.99125, -0.999375).

Passo 6

Verificamos a diferença entre x^(3) e x^(2):
De
Como 0.04125 < 0.05, atingimos a tolerância desejada e podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com varepsilon = 0.05 é:
(x, y, z) approx (1.0075, 0.99125, -0.999375)

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