Seja
Mostre que
é descontínua em
.
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo de
. Queremos mostrar que essa função é descontínua no ponto
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para verificar a continuidade em um ponto, precisamos analisar o limite da função nesse ponto e ver se ele é igual ao valor da função no ponto.
O que vamos precisar:
- Conceito de limite de funções de duas variáveis.
- Análise de limites por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de
quando
se aproxima de
.
A função é dada por:
Para verificar o limite, podemos analisar o comportamento de
ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Primeiro caminho: Vamos considerar o caminho onde
.
Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
por
, o limite de
é 1.
Passo 4
Segundo caminho: Agora, consideremos o caminho onde
.
Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
por
, o limite de
é 0.
Passo 5
Observamos que ao nos aproximarmos de
por dois caminhos diferentes, obtemos limites diferentes:
- Por
: limite é 1. - Por
: limite é 0.
Como o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
Como o limite de
em
não é único e depende do caminho de aproximação, concluímos que
é descontínua em
.