Seja g(x, y)=ccx^2-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que g é descontínua em (0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de . Queremos mostrar que essa função é descontínua no ponto .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para verificar a continuidade em um ponto, precisamos analisar o limite da função nesse ponto e ver se ele é igual ao valor da função no ponto.
O que vamos precisar:
  • Conceito de limite de funções de duas variáveis.
  • Análise de limites por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de g(x, y) = x^2 - y^2x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) quando se aproxima de .
A função é dada por:
Para verificar o limite, podemos analisar o comportamento de ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 3

Primeiro caminho: Vamos considerar o caminho onde g(x, 0) = x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 .
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de por , o limite de é 1.

Passo 4

Segundo caminho: Agora, consideremos o caminho onde g(x, x) = x^2 - x^2x^2 + x^2 = 02x^2 = 0 .
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de por , o limite de é 0.

Passo 5

Observamos que ao nos aproximarmos de por dois caminhos diferentes, obtemos limites diferentes:
  • Por : limite é 1.
  • Por : limite é 0.
Como o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral de quando se aproxima de não existe.

Resposta

Como o limite de em não é único e depende do caminho de aproximação, concluímos que é descontínua em .

Exercícios relacionados