Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de . Queremos mostrar que essa função é descontínua no ponto .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para verificar a continuidade em um ponto, precisamos analisar o limite da função nesse ponto e ver se ele é igual ao valor da função no ponto.
O que vamos precisar:
Conceito de limite de funções de duas variáveis.
Análise de limites por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de quando se aproxima de .
A função é dada por:
Para verificar o limite, podemos analisar o comportamento de ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.
Passo 3
Primeiro caminho: Vamos considerar o caminho onde .
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de por , o limite de é 1.
Passo 4
Segundo caminho: Agora, consideremos o caminho onde .
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de por , o limite de é 0.
Passo 5
Observamos que ao nos aproximarmos de por dois caminhos diferentes, obtemos limites diferentes:
Por : limite é 1.
Por : limite é 0.
Como o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral de quando se aproxima de não existe.
Resposta
Como o limite de em não é único e depende do caminho de aproximação, concluímos que é descontínua em .