Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos encontrar as derivadas em relação a
e
, duas vezes. Para fazer isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É como a derivada comum, mas focada em uma variável enquanto a outra fica constante. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, trata
como uma constante.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
,
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
,
.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Com as primeiras derivadas encontradas, vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Por fim, vale lembrar que
se a função for suave, o que é o caso aqui. Portanto, não precisamos calcular
separadamente.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: