Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x^3 y^2+x y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos encontrar as derivadas em relação a e , duas vezes. Para fazer isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É como a derivada comum, mas focada em uma variável enquanto a outra fica constante. Por exemplo, a derivada parcial de em relação a , denotada por , trata como uma constante.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de f(x, y) = x^3 y^2 + x y^4 em relação a fx = partial fpartial x = 3x^2 y^2 + y^4 , .
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de fy = partial fpartial y = 2x^3 y + 4x y^3 em relação a , .
Derivando em relação a :

Passo 5

Com as primeiras derivadas encontradas, vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, encontramos fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x y^2 , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 6

Em seguida, encontramos fxy = partial^2 fpartial y partial x = 6x^2 y + 4y^3 , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2x^3 + 12x y^2 , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 8

Por fim, vale lembrar que se a função for suave, o que é o caso aqui. Portanto, não precisamos calcular separadamente.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função fxx &= 6x y^2 fxy &= 6x^2 y + 4y^3 fyy &= 2x^3 + 12x y^2 são:

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