Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos derivar a função em relação a cada variável, uma de cada vez, mantendo a outra constante.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra do poder, que diz que ). - A derivada de
em relação a é , porque é tratado como uma constante e a derivada de uma constante é zero.
Então:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Diferenciando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (novamente usando a regra do poder). - A derivada de
em relação a é , pois é constante nessa derivação.
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que
é ponto de mínimo absoluto de
e 4 um valor de mínimo absoluto.
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
.
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Mostre que
é uma função diferenciável em
.