Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3x^2+y^2

Passo 1

Então, temos que calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar a regra da derivada para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de fx = (y^3)(x^2 + y^2) - x y^3(2x)(x^2 + y^2)^2 em relação a fx = y^3(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 , denotada por . Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = x(3y^2)(x^2 + y^2) - x y^3(2y)(x^2 + y^2)^2 em relação a fy = x(3y^2(x^2 + y^2) - 2y^4)(x^2 + y^2)^2 = x(y^2(3x^2 + 3y^2 - 2y^2))(x^2 + y^2)^2 = x y^2(3x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 , denotada por . Aplicamos novamente a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as primeiras derivadas parciais e , vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar em relação a e a , e derivar em relação a e a .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular fxx = partialpartial x( y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 ) , que é a derivada de fxx = y^3(-2x)(x^2 + y^2)^2 - y^3(y^2 - x^2)(2)(2x)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 em relação a fxx = y^3(3x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3 :
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Depois de simplificar, o resultado final é:

Passo 7

Em seguida, vamos calcular fxy = partialpartial y( y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 ) , que é a derivada de fxy = 3y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 - y^3(2y)(x^2 + y^2)^2 - y^3(y^2 - x^2)(4y)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 em relação a fxy = y^2(x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3 :
Aplicamos a regra do quociente novamente e simplificamos:
Após simplificação, o resultado é:

Passo 8

Agora, vamos calcular fyx = partialpartial x( x y^2(3x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 ) , que é a derivada de fyx = y^2(3x^2 + y^2) + x y^2(6x)(x^2 + y^2)^2 - x y^2(3x^2 + y^2)(4x)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 em relação a fyx = y^2(3x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3 :
Usando a regra do quociente e simplificando:
Simplificando mais, temos:

Passo 9

Por último, vamos calcular fyy = partialpartial y( x y^2(3x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 ) , que é a derivada de fyy = x(2y)(3x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 - x y^2(6y)(x^2 + y^2)^2 - x y^2(3x^2 + y^2)(4y)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 em relação a fyy = x y^2(3x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3 :
Aplicando a regra do quociente e simplificando:
Após simplificar, o resultado final é:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função fxx = y^3(3x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3 são:
fxy = fyx = y^2(x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3
fyy = x y^2(3x^4 - 2x^2y^2 - y^4)(x^2 + y^2)^3

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Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=x^2+y^2
Seja f(x, y)=x^2+y^2-2 x-6 y+14. Mostre que (1,3) é ponto de mínimo absoluto de f e 4 um valor de mínimo absoluto.
Mostre que f(x, y)=ccx^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é uma função diferenciável em R^2.
Seja f(x, y)=3 x^2 y-x. Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (1,2).