Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Então, temos que calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar a regra da derivada para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Aplicamos novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as primeiras derivadas parciais
e
, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar
em relação a
e a
, e derivar
em relação a
e a
.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Depois de simplificar, o resultado final é:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicamos a regra do quociente novamente e simplificamos:
Após simplificação, o resultado é:
Passo 8
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente e simplificando:
Simplificando mais, temos:
Passo 9
Por último, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando:
Após simplificar, o resultado final é:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Seja
. Mostre que
é ponto de mínimo absoluto de
e 4 um valor de mínimo absoluto.
Mostre que
é uma função diferenciável em
.
Seja
. Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
.