Mostre que f(x, y)=ccx^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é uma função diferenciável em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função f(x, y) = x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida por
é diferenciável em todo o plano . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar conceitos de limites e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e estão contínuas ao redor desse ponto.

Passo 3

Vamos verificar a diferenciabilidade em pontos diferentes de . Para , a função é composta por funções polinomiais e racionais, que são diferenciáveis onde o denominador não é zero. Já que nesse caso, é diferenciável em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, o desafio é mostrar que é diferenciável no ponto . Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto e se a função pode ser aproximada linearmente por essas derivadas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h^4h^2 - 0h = limh to 0 h^2h = limh to 0 h = 0 em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Então, ambas as derivadas parciais em são iguais a 0.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se a função se aproxima linearmente usando essas derivadas. Isso significa ver se:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Substituindo os valores que já encontramos:
lim(h,k) to (0,0) h^4h^2+k^2raizh^2 + k^2

Passo 7

Simplificando a expressão:
h^4(h^2+k^2)^3/2
Vamos avaliar o limite dessa expressão quando . Observamos que o numerador tende a zero mais rápido que o denominador , o que faz com que o limite seja zero.

Passo 8

Como o limite deu zero, isso confirma que a função pode ser aproximada linearmente no ponto usando as derivadas parciais que calculamos. Portanto, é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em todo , incluindo no ponto .

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Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3x^2+y^2
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=x^2+y^2
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f(x, y)=e^yx ln (x^2y)