Mostre que
é uma função diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
definida por
é diferenciável em todo o plano
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar conceitos de limites e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e estão contínuas ao redor desse ponto.
Passo 3
Vamos verificar a diferenciabilidade em pontos diferentes de
. Para
, a função
é composta por funções polinomiais e racionais, que são diferenciáveis onde o denominador não é zero. Já que
nesse caso,
é diferenciável em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, o desafio é mostrar que
é diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto e se a função pode ser aproximada linearmente por essas derivadas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Então, ambas as derivadas parciais em
são iguais a 0.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se a função se aproxima linearmente usando essas derivadas. Isso significa ver se:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Vamos avaliar o limite dessa expressão quando
. Observamos que o numerador
tende a zero mais rápido que o denominador
, o que faz com que o limite seja zero.
Passo 8
Como o limite deu zero, isso confirma que a função
pode ser aproximada linearmente no ponto
usando as derivadas parciais que calculamos. Portanto,
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
, incluindo no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Seja
. Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde: