Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=e^yx ln (x^2y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e . Isso significa que vamos ver como a função muda quando só alteramos ou só alteramos . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de ddx ( e^yx ) = e^yx cdot ( -yx^2 ) em relação a ddx ( ln(x^2y) ) = 1x^2y cdot 2xy = 2xx^2 = 2x , ou seja, partial fpartial x = ( -yx^2 e^yx ) cdot ln(x^2y) + e^yx cdot 2x .
A função é um produto de duas partes: partial fpartial x = e^yx ( -yx^2 ln(x^2y) + 2x ) e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
(Aqui usamos a regra da cadeia: derivada da exponencial é a exponencial vezes a derivada do expoente.)
Agora, vamos derivar em relação a :
(Aqui usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.)
Agora aplicamos a regra do produto:
Podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de ddy ( e^yx ) = e^yx cdot 1x em relação a ddy ( ln(x^2y) ) = 1x^2y cdot ( -x^2y^2 ) = -1y , ou seja, partial fpartial y = 1x e^yx cdot ln(x^2y) + e^yx cdot ( -1y ) .
Novamente, a função é partial fpartial y = e^yx ( 1x ln(x^2y) - 1y ) . Usamos a regra do produto.
Primeiro, derivamos em relação a :
(Aqui usamos a regra da cadeia.)
Agora, derivamos em relação a :
(Aqui também usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.)
Aplicando a regra do produto:
Podemos simplificar:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = e^yx ( -yx^2 ln(x^2y) + 2x ) são:
partial fpartial y = e^yx ( 1x ln(x^2y) - 1y )

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