Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
em relação a
e
. Isso significa que vamos ver como a função muda quando só alteramos
ou só alteramos
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é um produto de duas partes:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
(Aqui usamos a regra da cadeia: derivada da exponencial é a exponencial vezes a derivada do expoente.)
Agora, vamos derivar
em relação a
:
(Aqui usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.)
Agora aplicamos a regra do produto:
Podemos simplificar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função é
. Usamos a regra do produto.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
(Aqui usamos a regra da cadeia.)
Agora, derivamos
em relação a
:
(Aqui também usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.)
Aplicando a regra do produto:
Podemos simplificar:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
.
Mostre que
é uma função diferenciável em
.
Seja
. Calcule
e
.
Sejam
. Calcule