Seja f(x, y)=3 x^2 y-x. Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (1,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as equações do plano tangente e da reta normal no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente e a direção da reta normal.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor da função no ponto dado. Substituímos f(1, 2) = 3(1)^2(2) - 1 = 6 - 1 = 5 e na função:
Então, o ponto onde vamos calcular o plano tangente e a reta normal é .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x(3x^2y - x) = 6xy - 1 em relação a fy(x, y) = partialpartial y(3x^2y - x) = 3x^2 e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis varia.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(1, 2) = 6 cdot 1 cdot 2 - 1 = 12 - 1 = 11 :
fy(1, 2) = 3 cdot (1)^2 = 3

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Onde z = 5 + 11(x - 1) + 3(y - 2) e z = 5 + 11x - 11 + 3y - 6 , z = 11x + 3y - 12 , . Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto 11x + 3y - z - 12 = 0 . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal ao plano tangente, que são os coeficientes de , e na equação do plano.
Do plano , podemos reescrever como:
O vetor normal é .

Passo 7

Com o vetor normal e o ponto dado, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
x = 1 + 11t y = 2 + 3t z = 5 - t
Onde é um parâmetro real.

Resposta

As equações solicitadas são:
Plano Tangente:
z = 11x + 3y - 12
Reta Normal:
x = 1 + 11t y = 2 + 3t z = 5 - t onde t in R

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Seja f(x, y)=x^2-yy^2+1. Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).