Seja . Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as equações do plano tangente e da reta normal no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação do plano tangente e a direção da reta normal.
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor da função no ponto dado. Substituímos e na função:
Então, o ponto onde vamos calcular o plano tangente e a reta normal é .
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis varia.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde e , , . Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal ao plano tangente, que são os coeficientes de , e na equação do plano.
Do plano , podemos reescrever como:
O vetor normal é .
Passo 7
Com o vetor normal e o ponto dado, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal: