Sejam z=f(x, y)=x^3 y^2, x(t)=e^-t e y(t)=t sen t. Calcule d zd t

Passo 1

Vamos dar uma entendida no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função , onde e são funções de , especificamente e . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo das derivadas de funções compostas, utilizando a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Nosso objetivo é calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 2

Para resolver isso, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra da cadeia diz que:
dzdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Isso significa que vamos precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar cada uma pela derivada de e em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = 3x^2 y^2 :
partial fpartial y = 2x^3 y
Essas derivadas mostram como muda em relação a cada vari��vel, mantendo a outra constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = ddt ( e^-t cdot e ) = -e^-t cdot e = -e^1 - t e dydt = ddt (t) cdot sen t + t cdot ddt (sen t) = 1 cdot sen t + t cdot cos t = sen t + t cos t em relação a .
Para :
Aqui, usamos a regra da derivada para exponenciais.
Para :
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:

Passo 5

Com todas as derivadas encontradas, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia:
Isso nos dá a expressão completa para a derivada de dzdt = ( 3x^2 y^2 ) cdot ( -e^1 - t ) + ( 2x^3 y ) cdot ( sen t + t cos t ) em relação a .

Resposta

A derivada dzdt = -3x^2 y^2 e^1 - t + 2x^3 y (sen t + t cos t) é:

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