Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
f(x, y)=2 x y^3+x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos encontrar e . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação parcial, que nos permitem derivar uma função em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 2x y^3 + x sin x em relação a , ou seja, . Lembre-se que, ao derivar em relação a , o é tratado como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo partialpartial x(2x y^3) = 2 y^3 em relação a :
  • é uma constante em relação a .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Agora, derivando o segundo termo partialpartial x(x sin x) = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x em relação a :
  • Aqui, usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por .
  • A regra do produto diz que .
Vamos aplicar:
  • então
  • então
Então:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter partial fpartial x = 2 y^3 + sin x + x cos x :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 2x y^3 + x sin x em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 7

Derivando o primeiro termo partialpartial y(2x y^3) = 2x cdot 3y^2 = 6x y^2 em relação a :
  • é uma constante em relação a .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 8

Derivando o segundo termo partialpartial y(x sin x) = 0 em relação a :
  • Esse termo não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Então:

Passo 9

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter partial fpartial y = 6x y^2 + 0 = 6x y^2 :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x = 2 y^3 + sin x + x cos x são:
partial fpartial y = 6x y^2
e

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