Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função , isto é, e , onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos encontrar e . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação parcial, que nos permitem derivar uma função em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que, ao derivar em relação a , o é tratado como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo em relação a :
é uma constante em relação a .
A derivada de em relação a é .
Então:
Passo 4
Agora, derivando o segundo termo em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por .
A regra do produto diz que .
Vamos aplicar:
então
então
Então:
Passo 5
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter :
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 7
Derivando o primeiro termo em relação a :
é uma constante em relação a .
A derivada de em relação a é .
Então:
Passo 8
Derivando o segundo termo em relação a :
Esse termo não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Então:
Passo 9
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter :
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: