Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos encontrar
e
. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação parcial, que nos permitem derivar uma função em relação a uma variável enquanto tratamos a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, o
é tratado como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
-
é uma constante em relação a . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Agora, derivando o segundo termo
em relação a
:
- Aqui, usamos a regra do produto, já que temos
multiplicado por . - A regra do produto diz que
.
Vamos aplicar:
-
então -
então
Então:
Passo 5
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 7
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
-
é uma constante em relação a . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 8
Derivando o segundo termo
em relação a
:
- Esse termo não depende de
, então sua derivada em relação a é zero.
Então:
Passo 9
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e