Resolver o sistema linear
c 5 x1+2 x2+x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+10 x3=3
pelos métodos:
b) Decomposição L U, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Decomposição LU. A matéria que estamos trabalhando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas por decomposição de matrizes. Para isso, vamos precisar separar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3
Aqui, os números à esquerda da barra representam os coeficientes das variáveis , e , e os números à direita são os termos constantes.

Passo 3

Agora, precisamos decompor a matriz dos coeficientes A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10 em duas matrizes: (que terá 1’s na diagonal e abaixo) e (triangular superior). Vamos começar sem pivoteamento.
A matriz é:

Passo 4

Decomposição LU sem pivoteamento:
Primeiro, identificamos os elementos da matriz L e U.
Assumimos que:
A = LU
Onde:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 5

Começamos calculando os elementos de :
Agora, calculamos os elementos de :

Passo 6

Continuando com :
E para :

Passo 7

Finalmente, calculamos u33 = 10 - l31 times u13 - l32 times u23 = 10 - 0.4 times 1 - (-0.8636) times 2.2 :
u33 = 10 - 0.4 + 1.900 = 11.5
L = 1 & 0 & 0 -0.2 & 1 & 0 0.4 & -0.8636 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & 4.4 & 2.2 0 & 0 & 11.5
Então, temos:

Passo 8

Agora que temos b = -12 20 3 e y1 = -12 -0.2 y1 + y2 = 20 0.4 y1 - 0.8636 y2 + y3 = 3 , resolvemos o sistema , onde é o vetor dos termos constantes:
Primeiro, resolvemos para encontrar .
Então:

Passo 9

Resolvendo -12 17.6 23 :
Portanto,

Passo 10

Agora, resolvemos 5 x1 + 2 x2 + x3 = -12 4.4 x2 + 2.2 x3 = 17.6 11.5 x3 = 23 :
Começamos de baixo para cima.

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4 x2 = 3 x3 = 2

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