Seja
Mostre que
é contínua em
.
Mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto
é o ponto
ou não. O objetivo é mostrar que
é contínua em todo o espaço
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limite de funções de várias variáveis e as definições de continuidade. Basicamente, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de qualquer ponto em
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, observamos que para qualquer ponto
, a função
é uma função polinomial dividida por outra polinomial que não se anula nesse ponto. Como as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, a função
também é contínua em todos esses pontos.
Passo 3
O único ponto que precisamos analisar com mais cuidado é o ponto
, já que a definição da função muda nesse ponto. Para mostrar que
é contínua em
, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, examinamos o limite quando
:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que é igual a
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.