Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto é o ponto ou não. O objetivo é mostrar que é contínua em todo o espaço .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limite de funções de várias variáveis e as definições de continuidade. Basicamente, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de qualquer ponto em é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, observamos que para qualquer ponto , a função é uma função polinomial dividida por outra polinomial que não se anula nesse ponto. Como as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, a função também é contínua em todos esses pontos.
Passo 3
O único ponto que precisamos analisar com mais cuidado é o ponto , já que a definição da função muda nesse ponto. Para mostrar que é contínua em , precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a .
Passo 4
Vamos calcular o limite de quando . Uma maneira eficiente de fazer isso é usando coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, examinamos o limite quando :
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é 0, que é igual a .