Seja f(x, y)=ccx y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua em R^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto é o ponto ou não. O objetivo é mostrar que é contínua em todo o espaço .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limite de funções de várias variáveis e as definições de continuidade. Basicamente, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de qualquer ponto em é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, observamos que para qualquer ponto , a função é uma função polinomial dividida por outra polinomial que não se anula nesse ponto. Como as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, a função também é contínua em todos esses pontos.

Passo 3

O único ponto que precisamos analisar com mais cuidado é o ponto , já que a definição da função muda nesse ponto. Para mostrar que é contínua em , precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 4

Vamos calcular o limite de f(r, theta) = (r cos(theta))(r sin(theta))^2r^2cos^2(theta) + r^2sin^2(theta) = r cos(theta) cdot r^2 sin^2(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^3 cos(theta) sin^2(theta)r^2 = r cos(theta) sin^2(theta) quando limr to 0 r cos(theta) sin^2(theta) = 0 cdot cos(theta) sin^2(theta) = 0 . Uma maneira eficiente de fazer isso é usando coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, examinamos o limite quando :
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é 0, que é igual a .

Resposta

A função é contínua em todo .

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